Jak udowodnić te 2 nierówności za pomocą nierówności o ciągach jednomonotonicznych?
\(\displaystyle{ a,b,c \in R_{+}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3} \ge \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)
To wymnożyłem przez \(\displaystyle{ a^3b^3c^3}\), ale nie wiem co dalej
\(\displaystyle{ a,b,c \in R_{+} \wedge a+b+c=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \le \frac{3}{4}}\)
Tutaj nie wiem jak zacząć, próbowałem podstawić za 1 a+b+c i wymnożyć ale to chyba nie był dobry pomysł
Pozdrawiam
Ciągi jednomonotoniczne - nierówności
-
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
Ciągi jednomonotoniczne - nierówności
\(\displaystyle{ \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \le \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ 3-\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1}-\frac{1}{c+1} \le \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{9}{4} \le \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}{3} \ge \frac{3}{4}=\frac{3}{a+b+c+3}=\frac{3}{(a+1)+(b+1)+(c+1)}}\)
a to już jest średnia pomiędzy średnią arytmetyczną i harmoniczną.
\(\displaystyle{ 3-\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1}-\frac{1}{c+1} \le \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{9}{4} \le \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}{3} \ge \frac{3}{4}=\frac{3}{a+b+c+3}=\frac{3}{(a+1)+(b+1)+(c+1)}}\)
a to już jest średnia pomiędzy średnią arytmetyczną i harmoniczną.
Ostatnio zmieniony 20 maja 2009, o 19:16 przez Brzytwa, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Ciągi jednomonotoniczne - nierówności
HmmAtlas252 pisze:Jak udowodnić te 2 nierówności za pomocą nierówności o ciągach jednomonotonicznych?
\(\displaystyle{ a,b,c \in R_{+}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3} \ge \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)
To wymnożyłem przez \(\displaystyle{ a^3b^3c^3}\), ale nie wiem co dalej
W pierwszym po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ a^3b^3c^3}\) mamy:
\(\displaystyle{ a^8+b^8+c^8 \ge a^2b^3c^3 + a^3b^2c^3 + a^3b^3c^2}\)
Bierzemy ciągi
\(\displaystyle{ (a^3,b^3,c^3)}\)
\(\displaystyle{ (a^3,b^3,c^3)}\)
\(\displaystyle{ (a^2,b^2,c^2)}\)
\(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\)
I na mocy nierówności o ciągach jednomonotonicznych:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a^{3} & b^{3} & c^{3}\\a^{3} & b^{3} & c^{3}\\a^{2} & b^{2} & c^{2}\end{array}\right] \ge \left[\begin{array}{ccc}a^{3} & b^{3} & c^{3}\\b^{3} & c^{3} & a^{3}\\c^{2} & a^{2} & b^{2}\end{array}\right]}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 1 maja 2009, o 09:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Ciągi jednomonotoniczne - nierówności
Aaa, a ja myślałem że to tylko dla dwóch ciągów można. Czyli można dla dowolnej ilości ciągów?xanowron pisze:HmmAtlas252 pisze:Jak udowodnić te 2 nierówności za pomocą nierówności o ciągach jednomonotonicznych?
\(\displaystyle{ a,b,c \in R_{+}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3} \ge \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)
To wymnożyłem przez \(\displaystyle{ a^3b^3c^3}\), ale nie wiem co dalej
W pierwszym po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ a^3b^3c^3}\) mamy:
\(\displaystyle{ a^8+b^8+c^8 \ge a^2b^3c^3 + a^3b^2c^3 + a^3b^3c^2}\)
Bierzemy ciągi
\(\displaystyle{ (a^3,b^3,c^3)}\)
\(\displaystyle{ (a^3,b^3,c^3)}\)
\(\displaystyle{ (a^2,b^2,c^2)}\)
\(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\)
I na mocy nierówności o ciągach jednomonotonicznych:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a^{3} & b^{3} & c^{3}\\a^{3} & b^{3} & c^{3}\\a^{2} & b^{2} & c^{2}\end{array}\right] \ge \left[\begin{array}{ccc}a^{3} & b^{3} & c^{3}\\b^{3} & c^{3} & a^{3}\\c^{2} & a^{2} & b^{2}\end{array}\right]}\)
Dzięki za pomoc
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Ciągi jednomonotoniczne - nierówności
O ile są tej samej monotoniczności, tj. wszystkie są rosnące/malejące możesz dla dowolnej ilości ciągów.