Ciągi jednomonotoniczne - nierówności

[Atlas252]

Jak udowodnić te 2 nierówności za pomocą nierówności o ciągach jednomonotonicznych?

\(\displaystyle{ a,b,c \in R_{+}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3} \ge \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)
To wymnożyłem przez \(\displaystyle{ a^3b^3c^3}\), ale nie wiem co dalej

\(\displaystyle{ a,b,c \in R_{+} \wedge a+b+c=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \le \frac{3}{4}}\)
Tutaj nie wiem jak zacząć, próbowałem podstawić za 1 a+b+c i wymnożyć ale to chyba nie był dobry pomysł

Pozdrawiam

[Brzytwa]

\(\displaystyle{ \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \le \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ 3-\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1}-\frac{1}{c+1} \le \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{9}{4} \le \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}{3} \ge \frac{3}{4}=\frac{3}{a+b+c+3}=\frac{3}{(a+1)+(b+1)+(c+1)}}\)

a to już jest średnia pomiędzy średnią arytmetyczną i harmoniczną.

[xanowron]

Jak udowodnić te 2 nierówności za pomocą nierówności o ciągach jednomonotonicznych?

\(\displaystyle{ a,b,c \in R_{+}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3} \ge \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)
To wymnożyłem przez \(\displaystyle{ a^3b^3c^3}\), ale nie wiem co dalej

Hmm
W pierwszym po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ a^3b^3c^3}\) mamy:

\(\displaystyle{ a^8+b^8+c^8 \ge a^2b^3c^3 + a^3b^2c^3 + a^3b^3c^2}\)

Bierzemy ciągi

\(\displaystyle{ (a^3,b^3,c^3)}\)
\(\displaystyle{ (a^3,b^3,c^3)}\)
\(\displaystyle{ (a^2,b^2,c^2)}\)

\(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\)

I na mocy nierówności o ciągach jednomonotonicznych:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a^{3} & b^{3} & c^{3}\\a^{3} & b^{3} & c^{3}\\a^{2} & b^{2} & c^{2}\end{array}\right] \ge \left[\begin{array}{ccc}a^{3} & b^{3} & c^{3}\\b^{3} & c^{3} & a^{3}\\c^{2} & a^{2} & b^{2}\end{array}\right]}\)

[Atlas252]

Jak udowodnić te 2 nierówności za pomocą nierówności o ciągach jednomonotonicznych?

\(\displaystyle{ a,b,c \in R_{+}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3} \ge \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)
To wymnożyłem przez \(\displaystyle{ a^3b^3c^3}\), ale nie wiem co dalej

Hmm
W pierwszym po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ a^3b^3c^3}\) mamy:

\(\displaystyle{ a^8+b^8+c^8 \ge a^2b^3c^3 + a^3b^2c^3 + a^3b^3c^2}\)

Bierzemy ciągi

\(\displaystyle{ (a^3,b^3,c^3)}\)
\(\displaystyle{ (a^3,b^3,c^3)}\)
\(\displaystyle{ (a^2,b^2,c^2)}\)

\(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\)

I na mocy nierówności o ciągach jednomonotonicznych:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a^{3} & b^{3} & c^{3}\\a^{3} & b^{3} & c^{3}\\a^{2} & b^{2} & c^{2}\end{array}\right] \ge \left[\begin{array}{ccc}a^{3} & b^{3} & c^{3}\\b^{3} & c^{3} & a^{3}\\c^{2} & a^{2} & b^{2}\end{array}\right]}\)

Aaa, a ja myślałem że to tylko dla dwóch ciągów można. Czyli można dla dowolnej ilości ciągów?
Dzięki za pomoc

[xanowron]

O ile są tej samej monotoniczności, tj. wszystkie są rosnące/malejące możesz dla dowolnej ilości ciągów.