rozwiązać kongruencje i wykazać związek

[Bartek_em]

Witam. Mam problem z takimi kongruecjami
Rozwiąż kongruencje.
1.\(\displaystyle{ x^{2} +7x +11 \equiv 0 mod 5}\)
tutaj wiem że trzeba przekształcić do takiej postawic
\(\displaystyle{ (x+1)^{2} +5(x+2)}\) ale niewiem co dalej z tym..

2. pewnie analogicznie trzeba zrobic
\(\displaystyle{ x^{2} -3x +3 \equiv 0 mod 7}\)
\(\displaystyle{ x^{2} -3x +3 \equiv x^{2} -3x -4 \equiv(x-4)(x+1)}\)
ale też nie wiem co dalej

3.
Wykaz, ze jeżeli \(\displaystyle{ 30 | a + b + c}\) to \(\displaystyle{ 30 | a^{5}+b^{5}+c^{5}}\)


z góry dzięki

[kuba746]

1 i 2 to może tak że \(\displaystyle{ x^2-3x+3 \equiv 0 (mod 7) \Rightarrow x^2-3x+3=7k}\) i rozwiązać w zależności od k?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ x^{2}+7x+11\equiv 0(mod5) \Rightarrow (x+1)^{2} +5(x+2)\equiv 0 (mod5) \iff (x+1)^{2}\equiv 0 (mod5) \iff x+1\equiv 0(mod5) \iff x\equiv -1\equiv 4 (mod5)}\)

[Bartek_em]

Nie rozumiem przejścia tego że nagle to jest \(\displaystyle{ (x +1)^1}\)

[Nakahed90]

Literówka, powinno być, już poprawiłem.

[frej]

2. Bardzo dobrze.

\(\displaystyle{ x-4 \equiv 0 \pmod{7} \quad \vee \quad x+1 \equiv 0 \pmod{7}}\)

3. \(\displaystyle{ a^5 \equiv a \pmod{2,3,5}}\)
udowodnij to.

1.\(\displaystyle{ a^x \equiv 0 \pmod{p} \Rightarrow a \equiv 0 \pmod{p}}\)
ważne jest, że \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsza.

[Bartek_em]

a jak rozwiazać taką?
\(\displaystyle{ x^{2} \equiv}\) - 1 (mod 29)

tam jest -1 ale niewiem czemu tego minusa nie widać

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ x^{2} \equiv−1 (mod 29)}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-1\equiv 0 (mod29)}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)\equiv 0 (mod29)}\)
\(\displaystyle{ x-1\equiv 0(mod29) \vee x+1\equiv 0(mod29)}\)
\(\displaystyle{ x\equiv 1 (mod29) \vee x\equiv -1 (mod29)}\)

[Bartek_em]

wlasnie chcialem w ten sposob to robic ale tam jest -1 czyli jak przerzucę na druga to będzie\(\displaystyle{ x^{2} +1}\)

moglem napisać \(\displaystyle{ 28(mod29)}\)

[frej]

Nie rozumiem o co Ci chodzi.

[Bartek_em]

bo żle napisalem, bez minusa, znaczy napisalem z minusem ale nie zostal wyświetlony. dlatego sądze ze trzeba to inaczej zrobić, chyba skorzystać z symbolu Legendre’a.

[frej]

Z Lagrange'a wynika, że \(\displaystyle{ -1}\) jest resztą kwadratową. Teraz tylko szukać.