Nie potrafię sobie poradzić z takim zadaniem, bardzo proszę o pomoc.
Znaleźć rozwiązania równania \(\displaystyle{ x_{2} + x_{3} + . . . + x_{6} = k}\) w liczbach całkowitych dodatnich dla
\(\displaystyle{ k = 7}\), \(\displaystyle{ k = 8}\), \(\displaystyle{ k = 11}\).
Ilość rozwiązań równania
-
qba1337
- Użytkownik
- Posty: 304
- Rejestracja: 20 lis 2008, o 17:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: xXx
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 40 razy
Ilość rozwiązań równania
Dla k=7
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6} = 7}\)
Żeby wszystkie liczby były całkowite dodatnie to od razu widać że
jedna z nich musi być równa 2, a reszta z nich równe 1
Czyli może być 6 różnych rowiązań z uwagi na to że każda z liczb x1,x2,x3.....x6 może być równa 2 ,a reszta z nich równa 1
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6} = 7}\)
Żeby wszystkie liczby były całkowite dodatnie to od razu widać że
jedna z nich musi być równa 2, a reszta z nich równe 1
Czyli może być 6 różnych rowiązań z uwagi na to że każda z liczb x1,x2,x3.....x6 może być równa 2 ,a reszta z nich równa 1
-
frej
Ilość rozwiązań równania
To jednak lepiej pasuje do kombinatoryki, przynajmniej moje rozwiązanie. Zrobimy to ciągiem zero-jedynkowym ( najlepiej mi się ilustruje na tej interpretacji ).
\(\displaystyle{ 0}\) - przerwa między \(\displaystyle{ x_i}\) a \(\displaystyle{ x_{i+1}}\)
\(\displaystyle{ 1}\) - wartość \(\displaystyle{ x_i}\) wzrasta o jeden
Przykład:
Teoretyczne rozwiązanie \(\displaystyle{ ( 0,1,2,0,4,3)}\) ilustruje ciąg
\(\displaystyle{ 010110011110111}\)
( zero na początku symbolizujące początek pierwszej liczby nie jest potrzebne, bo zawsze tak jest )
tłumaczenie:
zaczyna się pierwszy ( to zero, którego nie ma), zaczyna się drugi, drugi++, zaczyna się trzeci, trzeci ++, trzeci++, zaczyna się czwarty, zaczyna się piąty, piąty++, piąty++, piąty++, piąty++, zaczyna się szósty, szósty ++, szósty ++, szósty ++
Mam nadzieję, że zrozumiałeś, bo nie umiem tego dobrze opisać...
Wracamy do zadania.
Rozwiążemy w nieujemnych liczbach \(\displaystyle{ x_1 + x_2 + \ldots x_p = q \qquad (1)}\)
Mamy \(\displaystyle{ q}\) jedynek do przydzielenia i \(\displaystyle{ p-1}\) zer do wstawienia ( bo pierwszej nie trzeba pisać ). Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia wszystkich możliwych ustawień \(\displaystyle{ q}\) jedynek na \(\displaystyle{ q+p-1}\) miejscach. Wiedza z kombinatoryki przypomina nam, że takich wyborów jest \(\displaystyle{ { p+q-1 \choose q}}\).
Gdybyś miał rozwiązać to w liczbach dodatnich, to robisz tak:
\(\displaystyle{ (x_1-1)+ (x_2 -1 ) + \ldots + (x_p-1) = q-p}\)
I dla \(\displaystyle{ a_i=x_i-1}\) oraz \(\displaystyle{ k=q-p}\) sprawa sprowadza się do rozwiązania równania (1) w liczbach całkowitych nieujemnych.
Jakieś pytania?
\(\displaystyle{ 0}\) - przerwa między \(\displaystyle{ x_i}\) a \(\displaystyle{ x_{i+1}}\)
\(\displaystyle{ 1}\) - wartość \(\displaystyle{ x_i}\) wzrasta o jeden
Przykład:
Teoretyczne rozwiązanie \(\displaystyle{ ( 0,1,2,0,4,3)}\) ilustruje ciąg
\(\displaystyle{ 010110011110111}\)
( zero na początku symbolizujące początek pierwszej liczby nie jest potrzebne, bo zawsze tak jest )
tłumaczenie:
zaczyna się pierwszy ( to zero, którego nie ma), zaczyna się drugi, drugi++, zaczyna się trzeci, trzeci ++, trzeci++, zaczyna się czwarty, zaczyna się piąty, piąty++, piąty++, piąty++, piąty++, zaczyna się szósty, szósty ++, szósty ++, szósty ++
Mam nadzieję, że zrozumiałeś, bo nie umiem tego dobrze opisać...
Wracamy do zadania.
Rozwiążemy w nieujemnych liczbach \(\displaystyle{ x_1 + x_2 + \ldots x_p = q \qquad (1)}\)
Mamy \(\displaystyle{ q}\) jedynek do przydzielenia i \(\displaystyle{ p-1}\) zer do wstawienia ( bo pierwszej nie trzeba pisać ). Zadanie sprowadza się zatem do wyznaczenia wszystkich możliwych ustawień \(\displaystyle{ q}\) jedynek na \(\displaystyle{ q+p-1}\) miejscach. Wiedza z kombinatoryki przypomina nam, że takich wyborów jest \(\displaystyle{ { p+q-1 \choose q}}\).
Gdybyś miał rozwiązać to w liczbach dodatnich, to robisz tak:
\(\displaystyle{ (x_1-1)+ (x_2 -1 ) + \ldots + (x_p-1) = q-p}\)
I dla \(\displaystyle{ a_i=x_i-1}\) oraz \(\displaystyle{ k=q-p}\) sprawa sprowadza się do rozwiązania równania (1) w liczbach całkowitych nieujemnych.
Jakieś pytania?