Pytanie dotyczący kongruencji

[myky]

Mam problem z zadaniem:

Rozwiąż kongruencję: \(\displaystyle{ 7x\equiv 31 (mod 29)}\)

Cześć pierwsza:
Biorąc 31 modulo 29, mogę napisać, żę jest równe 2, czyli \(\displaystyle{ 7x\equiv 2 (mod 29)}\) (,które ułatwi obliczenia).

Także mam równanie:
\(\displaystyle{ 7x - 2 = 29k}\),
\(\displaystyle{ 7x - 29k = 2}\), (*)

\(\displaystyle{ NWD(7, 29)=1}\);
\(\displaystyle{ 29=7*4 + 1}\);
\(\displaystyle{ 1=29-7*4}\);
z tego wynika, że nasze \(\displaystyle{ k=-1}\), a \(\displaystyle{ x=-4}\).

Mam teraz pytanie. Co należy zrobić w takiej sytuacji?

Część druga:
Na ćwiczeniach pan napisał: \(\displaystyle{ 7*(-4) \equiv 1(mod 29)}\), żeby równało się to naszemu równaniu (*) należy pomnożyć wartości przez 2?
\(\displaystyle{ 7*(-8) \equiv 2(mod 29)}\), a z tego:
\(\displaystyle{ x \equiv (-8) (mod 29)}\), a by nasza liczba byla dodatnia, mozna napisac, że \(\displaystyle{ -8=21}\), wiec:
\(\displaystyle{ x \equiv 21 (mod 29)}\) i \(\displaystyle{ x \equiv 29*k+ 21}\).

Jeśli to jest dobrze, proszę o wytłumaczenie dokładniej części 2. Z góry dziękuję.

[klaustrofob]

tak z ciekawości - co u Was oznacza sformułowanie: "rozwiąż kongruencję"?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ 7\equiv 31 (mod 29)}\)

Ja bym powiedział, że to nie jest prawda, więc nie wiem za bardzo co chciałeś z tego rozwiązywać.

Popraw cały zapis na LaTeX.

[myky]

Oczywiscie chodzi o 7x! Przepraszam. Poprawione.

[klaustrofob]

Rozwiąż kongruencję: \(\displaystyle{ 7x\equiv 31 (mod 29)}\)

Cześć pierwsza:
Biorąc 31 modulo 29, mogę napisać, żę jest równe 2, czyli \(\displaystyle{ 7x\equiv 2 (mod 29)}\) (,które ułatwi obliczenia).

Także mam równanie:
\(\displaystyle{ 7x - 2 = 29k}\),
\(\displaystyle{ 7x - 29k = 2}\), (*)

\(\displaystyle{ NWD(7, 29)=1}\);
\(\displaystyle{ 29=7*4 + 1}\);
\(\displaystyle{ 1=29-7*4}\);
z tego wynika, że nasze \(\displaystyle{ k=-1}\), a \(\displaystyle{ x=-4}\).

Mam teraz pytanie. Co należy zrobić w takiej sytuacji?

nie rozumiem tej metody. wzorując się na książce, którą mam przed sobą, robiłbym tak: znajdź jakiekolwiek rozwiązanie równania \(\displaystyle{ 7x-29k=2}\) jakąkolwiek metodą. wykorzystując Twój wynik byłoby to \(\displaystyle{ x=-8\land k=-2}\) teraz zapisujemy rozwiązanie ogólne \(\displaystyle{ x=-8+29m\land k=-2+7m}\)

Część druga:
\(\displaystyle{ 7*(-4) \equiv 1(mod 29)}\), żeby równało się to naszemu równaniu (*) należy pomnożyć wartości przez 2? -- zauważamy to
\(\displaystyle{ 7*(-8) \equiv 2(mod 29)}\) -- zwyczajne mnożenie kongruencji stronami

teraz tak: mamy dwie kongruencje: \(\displaystyle{ 7x\equiv 2 \land 7\cdot (-8)\equiv 2}\) odejmujemy stronami i otrzymujemy \(\displaystyle{ 7(x+8)\equiv 0}\) a ponieważ 7 i 29 są wzgl. pierwsze dzielimy stronami przez 7 otrzymując \(\displaystyle{ x+8\equiv 0}\) tzn. \(\displaystyle{ x\equiv -8\equiv 21}\)
czyli \(\displaystyle{ x = 29k+ 21}\).

zauważ, że z Twojego rozwiązania masz rozwiązanie pana, jeżeli weźmiesz samego "x".