Zadanie polega na rozwiązaniu ukł. zbudowanego rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n}=3a_{n-1}+2b_{n-1} \\b_{n}=a_{n-1}+b_{n-1}\\ a_{n}=b_{n}=0 \end{cases}}\)
Zależności rekurencyjne
Zależności rekurencyjne
Hmmm no tak jest podane, ew. nie wiem czy tam nie powinno byc dla \(\displaystyle{ n \le 1}\)
Zależności rekurencyjne
Hmmm no musze to zrobić, nie wiem jak dlatego napisałam, dla mnie też jest to bez sensu i nie kojarzy mi się kompletnie z niczym ale może jakoś jednak da się to zwiazać?
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Zależności rekurencyjne
No ale to wg mnie jest rozwiązane, bo musimy wyznaczyć: \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\), więc:
\(\displaystyle{ a_n=0}\) i \(\displaystyle{ b_n=0}\).
\(\displaystyle{ a_n=0}\) i \(\displaystyle{ b_n=0}\).
Zależności rekurencyjne
znalazlam podobny przykład tylko, ze juz sensowniej zbudowany
\(\displaystyle{ \begin{cases} a0=0\\a1=1 \\ an=2a_{n-1}-a_{n-2} \end{cases}}\) i jest rowiazany w sposob nastepujacy:
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n}x^n
\\= 0+x + \sum_{n=0}^{ \infty } (2a_{n-1}-a_{n-2)}x^n
\\=x+2x \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n-1}x^{n-1} +\sum_{n=0}^{ \infty }-a_{n-2}x^{n-2}
\\=x+2xA(x)-x^2A(x)
\\=A(x)}\)
i z tego \(\displaystyle{ A(x)(x^2-2x+1)=1}\)
i z funkcji tworzacych(?) (0,1,2,3...)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a0=0\\a1=1 \\ an=2a_{n-1}-a_{n-2} \end{cases}}\) i jest rowiazany w sposob nastepujacy:
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n}x^n
\\= 0+x + \sum_{n=0}^{ \infty } (2a_{n-1}-a_{n-2)}x^n
\\=x+2x \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n-1}x^{n-1} +\sum_{n=0}^{ \infty }-a_{n-2}x^{n-2}
\\=x+2xA(x)-x^2A(x)
\\=A(x)}\)
i z tego \(\displaystyle{ A(x)(x^2-2x+1)=1}\)
i z funkcji tworzacych(?) (0,1,2,3...)
Ostatnio zmieniony 14 maja 2009, o 22:14 przez Basia89, łącznie zmieniany 1 raz.
-
smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Zależności rekurencyjne
czyli każde zadanie z jednego tematu jest prawie identyczne, i robi się je w ten sam sposób?Basia89 pisze:dlatego, ze jest on z tego samego tematu??
pozdro.
Zależności rekurencyjne
gdyby bylo takie samo i robilo sie je identycznie to bym je sama zrobila
wiec, czy ktos jest w stanie mi w jakims stopniu pomoc ?????
wiec, czy ktos jest w stanie mi w jakims stopniu pomoc ?????
-
frej
Zależności rekurencyjne
Wszystko byłoby dobrze, gdyby przykład był sensowny. Gdzie jest pierwszy wyraz? Prawie zawsze jest on podany. Nie wierzę w ciąg samych jedynek.
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Zależności rekurencyjne
Akurat pierwszy wyraz jest nieistotny jeśli chcemy znać wzór.
Załóżmy że znamy \(\displaystyle{ (a_0,b_0)}\).
Niech \(\displaystyle{ x_n = (a_n,b_n)}\) będzie wektorem dwóch zmiennych.
Wtedy mamy wzór
\(\displaystyle{ x_n = Ax_{n-1}}\)
gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą
\(\displaystyle{ A=
\left(
\begin{array}{cc}
3 & 2 \\
1 & 1
\end{array}
\right)}\)
Metodami algebry liniowej można wyliczyć jawnie potęgę \(\displaystyle{ A^{n}}\) i zaraz po tym \(\displaystyle{ x_n = A^{n}x_0}\)
Nie wypiszę formuły bo mechanizm LaTeXa na forum jakoś tępi długie wzory i nie miem go zamieścić. Zależy od potęg \(\displaystyle{ (2+\sqrt{3})^{n},\,(2-\sqrt{3})^{n}}\) oraz liczb \(\displaystyle{ a_0,\,b_0}\)
Załóżmy że znamy \(\displaystyle{ (a_0,b_0)}\).
Niech \(\displaystyle{ x_n = (a_n,b_n)}\) będzie wektorem dwóch zmiennych.
Wtedy mamy wzór
\(\displaystyle{ x_n = Ax_{n-1}}\)
gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą
\(\displaystyle{ A=
\left(
\begin{array}{cc}
3 & 2 \\
1 & 1
\end{array}
\right)}\)
Metodami algebry liniowej można wyliczyć jawnie potęgę \(\displaystyle{ A^{n}}\) i zaraz po tym \(\displaystyle{ x_n = A^{n}x_0}\)
Nie wypiszę formuły bo mechanizm LaTeXa na forum jakoś tępi długie wzory i nie miem go zamieścić. Zależy od potęg \(\displaystyle{ (2+\sqrt{3})^{n},\,(2-\sqrt{3})^{n}}\) oraz liczb \(\displaystyle{ a_0,\,b_0}\)