Liczba całkowita

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
skowron6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 159
Rejestracja: 6 sie 2008, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kłodzko
Podziękował: 47 razy

Liczba całkowita

Post autor: skowron6 »

Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ \frac{3+3^{2}+3^{3}+...+3^{100}}{4}}\) jest liczbą całkowitą


To wiem: wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{3^{101}-3}{4}}\)
Ostatnio zmieniony 10 maja 2009, o 16:57 przez skowron6, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Liczba całkowita

Post autor: Nakahed90 »

W liczniku masz sumę ciągu geometrycznego.
skowron6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 159
Rejestracja: 6 sie 2008, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kłodzko
Podziękował: 47 razy

Liczba całkowita

Post autor: skowron6 »

\(\displaystyle{ \frac{3^{101}-3}{4}}\)
wiedzialem to , ale nie widze tego jak to pokazac



BEZ KONGRUENCJI!?
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Liczba całkowita

Post autor: Nakahed90 »

\(\displaystyle{ \frac{3+3^{2}+3^{3}+...+3^{100}}{4}=\frac{\frac{3(1-3^{100})}{3-1}}{4}=\frac{3(1-3^{100})}{-8}=3\cdot \frac{3^{100}-1}{8}}\)

\(\displaystyle{ 3^{100}-1=(3^{50}+1)(3^{25}+1)(3^{25}-1)}\)
Każdy z iloczynów po prawej stronie jest parzysty, czyli lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2\cdot 2 \cdot 2 =8}\)

@edit:poprawiłem błąd
skowron6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 159
Rejestracja: 6 sie 2008, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kłodzko
Podziękował: 47 razy

Liczba całkowita

Post autor: skowron6 »

w mianowniku -2? a nie -8?
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Liczba całkowita

Post autor: xanowron »

\(\displaystyle{ -8}\)

W zadaniu chodzi o pokazanie, że \(\displaystyle{ 4|3+3^{2}+3^{3}+...+3^{100}}\)

\(\displaystyle{ 3+3^{2}+3^{3}+...+3^{100}}\) można rozpisać jako \(\displaystyle{ 3(1+3)+3^{3}(1+3)+...+3^{99}(1+3)}\) i wyłączając \(\displaystyle{ (1+3)}\) przed nawias mamy: \(\displaystyle{ (1+3)(3+3^{3}+3^{5}+...+3^{99})}\) więc mianownik dzieli licznik
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Liczba całkowita

Post autor: Nakahed90 »

-8 powinno być powinno
ODPOWIEDZ