Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ \frac{3+3^{2}+3^{3}+...+3^{100}}{4}}\) jest liczbą całkowitą
To wiem: wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{3^{101}-3}{4}}\)
Liczba całkowita
-
- Użytkownik
- Posty: 159
- Rejestracja: 6 sie 2008, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kłodzko
- Podziękował: 47 razy
Liczba całkowita
\(\displaystyle{ \frac{3^{101}-3}{4}}\)
wiedzialem to , ale nie widze tego jak to pokazac
BEZ KONGRUENCJI!?
wiedzialem to , ale nie widze tego jak to pokazac
BEZ KONGRUENCJI!?
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
Liczba całkowita
\(\displaystyle{ \frac{3+3^{2}+3^{3}+...+3^{100}}{4}=\frac{\frac{3(1-3^{100})}{3-1}}{4}=\frac{3(1-3^{100})}{-8}=3\cdot \frac{3^{100}-1}{8}}\)
\(\displaystyle{ 3^{100}-1=(3^{50}+1)(3^{25}+1)(3^{25}-1)}\)
Każdy z iloczynów po prawej stronie jest parzysty, czyli lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2\cdot 2 \cdot 2 =8}\)
@edit:poprawiłem błąd
\(\displaystyle{ 3^{100}-1=(3^{50}+1)(3^{25}+1)(3^{25}-1)}\)
Każdy z iloczynów po prawej stronie jest parzysty, czyli lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2\cdot 2 \cdot 2 =8}\)
@edit:poprawiłem błąd
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Liczba całkowita
\(\displaystyle{ -8}\)
W zadaniu chodzi o pokazanie, że \(\displaystyle{ 4|3+3^{2}+3^{3}+...+3^{100}}\)
\(\displaystyle{ 3+3^{2}+3^{3}+...+3^{100}}\) można rozpisać jako \(\displaystyle{ 3(1+3)+3^{3}(1+3)+...+3^{99}(1+3)}\) i wyłączając \(\displaystyle{ (1+3)}\) przed nawias mamy: \(\displaystyle{ (1+3)(3+3^{3}+3^{5}+...+3^{99})}\) więc mianownik dzieli licznik
W zadaniu chodzi o pokazanie, że \(\displaystyle{ 4|3+3^{2}+3^{3}+...+3^{100}}\)
\(\displaystyle{ 3+3^{2}+3^{3}+...+3^{100}}\) można rozpisać jako \(\displaystyle{ 3(1+3)+3^{3}(1+3)+...+3^{99}(1+3)}\) i wyłączając \(\displaystyle{ (1+3)}\) przed nawias mamy: \(\displaystyle{ (1+3)(3+3^{3}+3^{5}+...+3^{99})}\) więc mianownik dzieli licznik