liczby pierwsze

[Pumba]

1.Udowodnic, ze liczb postaci 6n+1, \(\displaystyle{ n \ge 1}\) nie mozna przedstawic jako roznicy liczb pierwszych.
2.Wykazac ze miedzy liczbami n i n! \(\displaystyle{ (n \ge 3)}\) znajduje sie co najmniej jedna liczba pierwsza.

[BettyBoo]

1) jedną z tych liczb musiałoby być 2, bo wszystkie inne są nieparzyste, ale wtedy druga liczba miałaby postać 6n+3=3(2n+1), a więc dla n większego od zera nie byłaby pierwsza.

2) Najmniejszą liczbą, dla której jest cokolwiek między n i n! jest 3. Rozpatrzmy n!-1. Albo jest ona pierwsza, albo nie. Jeśli nie, to wtedy musi mieć ona dzielnik pierwszy p. Jednak ten dzielnik nie może być mniejszy lub równy n, bo w przeciwnym razie musiałby być którymś z czynników w n!, a to by znaczyło, że p|n!-1 oraz p|n!, a więc również p dzieli ich różnicę, czyli p|1, sprzeczność.

Pozdrawiam.