Udowodnij, że jeżeli liczba całkowita k jest podzielna przez 3 i nie jest podzielna przez 6, to liczba \(\displaystyle{ k^2+7}\) jest podzielna przez 8.
Problem w tym, że w ogóle nie wiem, jak można to rozwiązać, co z tym zrobić...
Dziękuję za pomoc!
Dowód podzielności
-
Artist
- Użytkownik
- Posty: 865
- Rejestracja: 27 sty 2008, o 21:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 239 razy
Dowód podzielności
Postać tej liczby to \(\displaystyle{ k=6m+3}\)
\(\displaystyle{ (6m+3)^{2}+7=36m^{2}+36m+9+7=36m(m+1)+16}\)
16 jest podzielne przez 8 i iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnyc jest podzielny przez dwa oraz 36 dzieli 4. Razem mamy podzielność przez 8
\(\displaystyle{ (6m+3)^{2}+7=36m^{2}+36m+9+7=36m(m+1)+16}\)
16 jest podzielne przez 8 i iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnyc jest podzielny przez dwa oraz 36 dzieli 4. Razem mamy podzielność przez 8
-
frej
Dowód podzielności
\(\displaystyle{ k^2+7 \equiv k^2 -1 \equiv (k-1)(k+1) \equiv 0 \pmod{8}}\)
W odróżnieniu od liczb pierwszych można znaleźć nietrywialne pierwiastki tej kongruencji. Jest tak np. wtedy, gdy \(\displaystyle{ 2|k-1 \quad \wedge \quad 4|k+1}\) lub odwrotnie. Jest tak dla wszystkich liczb nieparzystych, którą jest także zadana liczba.