Sześciany liczb
-
Psycho
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 23 gru 2008, o 09:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Przemyśl/Kraków
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 68 razy
Sześciany liczb
Dla jakich \(\displaystyle{ n \in N_{+}}\) liczby \(\displaystyle{ 2^{n+1} - 1}\) i \(\displaystyle{ 2^{n-1}(2^{n} -1)}\) są jednocześnie sześcianami liczb naturalnych?
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Sześciany liczb
Nie ma takiego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}^+}\).
Weźmy pierwszą liczbę: \(\displaystyle{ 2^{n+1}-1}\) jest nieparzysta, więc musi być sześcianem liczby nieparzystej.
\(\displaystyle{ 2^{n+1}-1=(2m-1)^3=8m^3-12m^2+6m-1\ \Rightarrow\\ 2^n=m\cdot\left(4m^2-6m+3\right)=m\cdot\left(2\cdot\left(2m^2-3m+1\right)+1\right)}\)
Liczba w dużym nawiasie jest nieparzysta, więc nie może być inną niż zerowa potęgą dwójki.
Stąd \(\displaystyle{ 2m^2-3m+1=0\ \Rightarrow\ m=1}\), ale wtedy \(\displaystyle{ n=0}\).
Nb. to daje \(\displaystyle{ 2^{n+1}-1=1^3,\ \ 2^{n-1}\cdot\left(2^n-1\right)=0^3}\), czyli gdyby rozwiązywać w \(\displaystyle{ \mathbb{N}_0}\), to rozwiązanie by istniało.
Weźmy pierwszą liczbę: \(\displaystyle{ 2^{n+1}-1}\) jest nieparzysta, więc musi być sześcianem liczby nieparzystej.
\(\displaystyle{ 2^{n+1}-1=(2m-1)^3=8m^3-12m^2+6m-1\ \Rightarrow\\ 2^n=m\cdot\left(4m^2-6m+3\right)=m\cdot\left(2\cdot\left(2m^2-3m+1\right)+1\right)}\)
Liczba w dużym nawiasie jest nieparzysta, więc nie może być inną niż zerowa potęgą dwójki.
Stąd \(\displaystyle{ 2m^2-3m+1=0\ \Rightarrow\ m=1}\), ale wtedy \(\displaystyle{ n=0}\).
Nb. to daje \(\displaystyle{ 2^{n+1}-1=1^3,\ \ 2^{n-1}\cdot\left(2^n-1\right)=0^3}\), czyli gdyby rozwiązywać w \(\displaystyle{ \mathbb{N}_0}\), to rozwiązanie by istniało.