liczba dzielników i liczba liczb pierwszych, oszacowanie

[PrzeChMatematyk]

Otóż mam do udowodnienia taka(ładną?) zależność:

\(\displaystyle{ \frac{n^{2}}{2}<\o(n)\sigma(n)<n^{2} \ \ n\in R}\)

każdą liczbe możemy przestawić jako iloczyn liczb pierwszych do pewnych potęg czyli:

\(\displaystyle{ n=p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot ... \cdot p_{r}^{\alpha_{r}}}\)

\(\displaystyle{ \o(n)}\) jest to liczba liczb względnie pierwszych z n i mniejszych od n która wyraża sie wzorem:

\(\displaystyle{ \o(n)=n(1-\frac{1}{p_{1}}) \cdot (1-\frac{1}{p_{2}}) \cdot ... \cdot (1-\frac{1}{p_{r}})}\)

natomiast

\(\displaystyle{ \sigma(n)}\) jest to liczba dzielników liczby która wyraża sie wzorem:

\(\displaystyle{ \sigma(n)=\frac{p_{1}^{\alpha_{1}+1}-1}{p_{1}-1} \cdot \frac{p_{2}^{\alpha_{2}+2}-1}{p_{2}-1} \cdot ... \cdot \frac{p_{r}^{\alpha_{r}+1}-1}{p_{r}-1}}\)

jako wsazówka do zadania podany jest tak zwany iloczyn Eulera:

\(\displaystyle{ \zeta(s)= \prod_{p \in P}\frac{1}{1-\frac{1}{p^{s}}}}\)

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich liczbach pierwszych \(\displaystyle{ s>1}\)
a \(\displaystyle{ \zeta(s)}\) jest dana również takim wzorem:
\(\displaystyle{ \zeta(s)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^{s}}}\)

np dla s=2

\(\displaystyle{ \zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{2}}\)

powiem tylko że szczególnie mi zależy na dolnym oszacowaniu, pozdrawiam i z góry dziękuje za jakąkolwiek pomoc.