twierdzenie odwrotne do twierdzenia wilsona
-
szymek12
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
twierdzenie odwrotne do twierdzenia wilsona
Dowieść, że jeżeli \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ n|(n-1)! +1}\), to liczba \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą pierwszą.
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
twierdzenie odwrotne do twierdzenia wilsona
Załóżmy, że n nie jest liczbą pierwszą. Są dwie możliwości
1) n jest iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych lub co najmniej 3 liczb pierwszych. Wtedy da się zapisać n=kl, gdzie 1<k<l<n, a więc w (n-1)! pojawia się k oraz l, czyli n|(n-1)!, a więc nie może dzielić (n-1)!+1.
2) \(\displaystyle{ n=p^2}\). Ponieważ wykładnik k, dla którego \(\displaystyle{ p^k|(n-1)!}\) jest większy lub równy \(\displaystyle{ \left[\frac{n-1}{p}\right]+\left[\frac{n-2}{p}\right]=1+1=2}\), to n|(n-1)! i znowu sprzeczność
Pozdrawiam.
1) n jest iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych lub co najmniej 3 liczb pierwszych. Wtedy da się zapisać n=kl, gdzie 1<k<l<n, a więc w (n-1)! pojawia się k oraz l, czyli n|(n-1)!, a więc nie może dzielić (n-1)!+1.
2) \(\displaystyle{ n=p^2}\). Ponieważ wykładnik k, dla którego \(\displaystyle{ p^k|(n-1)!}\) jest większy lub równy \(\displaystyle{ \left[\frac{n-1}{p}\right]+\left[\frac{n-2}{p}\right]=1+1=2}\), to n|(n-1)! i znowu sprzeczność
Pozdrawiam.
