1, iloczyn liczb pierwszych, liczba pierwsza
-
szymek12
- Użytkownik
- Posty: 659
- Rejestracja: 24 kwie 2008, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów
- Podziękował: 136 razy
- Pomógł: 54 razy
1, iloczyn liczb pierwszych, liczba pierwsza
Dowieść, że każda liczba naturalna jest równa \(\displaystyle{ 1}\), jest iloczynem liczb pierwszych, albo jest liczbą pierwszą.
-
frej
1, iloczyn liczb pierwszych, liczba pierwsza
Przez sprzeczność i indukcyjnie.
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) się zgadza, krok indukcyjny.
Dla \(\displaystyle{ n+1}\)
Załóżmy przeciwnie, tzn. , że \(\displaystyle{ n+1}\) jest nie tylko iloczynem liczb pierwszych.
Wtedy \(\displaystyle{ n+1=ab}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 < a,b < n+1}\) i co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest złożona, której nie da się zapisać w postaci iloczynu liczb pierwszych. Ale na mocy założenia \(\displaystyle{ a,b}\) dają się zapisać w postaci iloczynu liczb pierwszych. Sprzeczność.
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) się zgadza, krok indukcyjny.
Dla \(\displaystyle{ n+1}\)
Załóżmy przeciwnie, tzn. , że \(\displaystyle{ n+1}\) jest nie tylko iloczynem liczb pierwszych.
Wtedy \(\displaystyle{ n+1=ab}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 < a,b < n+1}\) i co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest złożona, której nie da się zapisać w postaci iloczynu liczb pierwszych. Ale na mocy założenia \(\displaystyle{ a,b}\) dają się zapisać w postaci iloczynu liczb pierwszych. Sprzeczność.