dowód z wykorzystaniem podzielności

[szymek12]

Niech \(\displaystyle{ n,d \in N}\) i \(\displaystyle{ d|2n ^{2}}\) . Udowodnić, że \(\displaystyle{ n ^{2}+d}\) nie może być kwadratem liczby naturalnej.

[Artist]

Załóżmy niewprost, że istnieje taki kwadrat i niech będzie równy \(\displaystyle{ k^{2} \ k \in N}\)
Dalej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ d=(k-n)(k+n)}\)

Wiemy, że d musi spełniać podzielność:
\(\displaystyle{ d|2n^{2} \Leftrightarrow k-n|2n^{2} \wedge k+n|2n^{2}}\)

Teraz albo zarówno k i n są parzyste lub nieparzyste.

Najpierw załóżmy, ze są nieparzyste.
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2k^{'}+1-2n^{'}-1|2(2n^{'}+1)^{2} \Rightarrow 2(k^{'}-n^{'})|2(2n^{'}+1)^{2} \Leftrightarrow k'-n'|(2n'+1)^{2}}\)
Po prawej mamy liczbę nieparzystą więc i po lewej musimy taką mieć, ale wtedy albo \(\displaystyle{ k^{'}}\) a tym bardziej k jest parzyste albo n jest parzyste.
Sprzeczność.
Zatem zarówno k i n muszą być parzyste.
No i tu troszkę słabo bo nie mogę tego ugryźć.
Może tak:
\(\displaystyle{ 4((k')^{2}-(n')^{2})|2n^{2} \Leftrightarrow (k')^{2}-(n')^{2}|(2(n')^{2}}\)
Znowu otrzymujemy, że k' i n' muszą być albo obie parzyste albo nieparzyste, nieparzyste otrzymujemy sprzecznosć muszą być znów oba parzyste. Tu znowu otrzymamy:
\(\displaystyle{ (k")^{2}-(n")^{2}|(2(n")^{2}}\)
I dastajemy tak wkółko a, że jest \(\displaystyle{ n>n'>n''>....}\)
A, że ciag liczb naturalnych nie mozę maleć w nieskończoność otrzymujemy sprzecznosć.