Równanie z liczbą pierwszą

[szymek12]

Udowodnić, że dla \(\displaystyle{ p}\) - liczby pierwszej i \(\displaystyle{ p>2}\) oraz liczb naturalnych \(\displaystyle{ x}\),\(\displaystyle{ y}\) równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}= \frac{1}{p}}\) posiada rozwiązania postaci \(\displaystyle{ 2p=x=y}\).

[Artist]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2p}+\frac{1}{2p}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})\frac{1}{p}=\frac{1}{p}}\)

[mol_ksiazkowy]

Sa takze rozwiazania postaci
\(\displaystyle{ \frac{1}{p(p+1)}+ \frac{1}{p+1}= \frac{1}{p}}\)

[frej]

Jak przeczytałem treść, to nie uwierzyłem, że treść jest dobrze przepisana. Gdyby było rozwiąż równanie w liczbach naturalnych, to

\(\displaystyle{ p(x+y)=xy}\)

zatem bez straty ogólności \(\displaystyle{ x=kp}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{y} = \frac{1}{p} - \frac{1}{kp}=\frac{1}{p} \frac{k-1}{k}}\)

\(\displaystyle{ y=p \frac{k}{k-1} \in \mathbb{N}}\)

Albo \(\displaystyle{ k-1| p}\), albo \(\displaystyle{ \frac{1}{k-1} \in \mathbb{N}}\), co daje rozwiązania \(\displaystyle{ k=2\quad \vee \quad k=p+1}\)