Najmniejsza liczba, dla której warunek nie jest spełniony

[atimor]

Znajdź najmniejszą dodatnią liczbę parzystą x, która nie spełnia warunku:
"Istnieje taka liczba pierwsza p, która powiększona o x daje liczbę pierwszą i pomniejszona o x również daje liczbę pierwszą."

Czy tą liczbą jest 16 (sprawdzałem ją na wielu liczbach pierwszych i nie spełniała warunku) ? Jeśli tak, to jak to udowodnić? Jeśli nie, to jak znaleźć szukaną liczbę (jeśli istnieje)? Jeśli nie istnieje, to jak dowieść, że dowolna liczba parzysta spełnia dany w treści zadania warunek?

Za odpowiedzi byłbym bardzo wdzięczny

[Artist]

Trzeba zauważyć, że z liczb pierwszych tylko 3 dzieli się przez 3 i zauważyć, ze jedna z liczb p-x lub p+x dzieli sie przez 3.

[Brzytwa]

Załóżmy, że taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) (dla \(\displaystyle{ x=16}\)) istnieje. Wówczas pierwsze są liczby: \(\displaystyle{ p-16}\), \(\displaystyle{ p}\), \(\displaystyle{ p+16}\). Te \(\displaystyle{ 3}\) liczby dają \(\displaystyle{ 3}\) różne reszty przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\). Zatem jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Ponieważ jest ona liczbą pierwszą, więc musi być równa \(\displaystyle{ 3}\). Jedyną możliwością jest \(\displaystyle{ p-16=3}\). Ale wówczas \(\displaystyle{ p+16=35}\) co przeczy założeniu.-- 30 kwietnia 2009, 20:02 --\(\displaystyle{ 8}\) nie jest szukaną liczbą, bo liczby \(\displaystyle{ 3}\),\(\displaystyle{ 11}\),\(\displaystyle{ 17}\) są pierwsze.