Znaleźć sumy, kilka ciekawych przykładów

[etyre]

Witam, prosiłbym o pomoc przy rozwiązaniu zadań z tego zestawu: . Przykłady, które najbardziej mnie interesują to:
\(\displaystyle{ a) 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + n \cdot (n + 1) \\
b) 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \\
c) 1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 \ldots + 2^{2007} \\
d) 1+x+x^2+\ldots+x^n \\
e) \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots + \frac{1}{2007\cdot 2008} \\}\)

oraz taki przykład:
\(\displaystyle{ f) 1 + 2^2 + 3^3 + \ldots + 2007^{2007}}\)

Z góry dziękuję za pomoc.
Mam w ogóle pytanie na przyszłość: czy istnieją jakieś sposoby/wzory/etc. na obliczanie różnych sum (w sensie tych bardziej skomplikowanych)?

[anna_]

c) d) ciągi geometryczne. Podstawiasz do wzoru i liczysz

[6hokage]

c i d to ciągi geometryczne, poczytaj sobie o tym.
e)
\(\displaystyle{ \frac{1}{k(k+1)}= \frac{1}{k}- \frac{1}{k+1}}\)

[mol_ksiazkowy]

np ad b \(\displaystyle{ s=1+2^1+2^2+ ...+2^{2007}}\)
wiec
\(\displaystyle{ 2s=2+2^2+2^3+ ...+2^{2007} +2^{2008}= s-1 +2^{2008}}\)
stad
\(\displaystyle{ s=2^{2008}-1}\)

[frej]

a) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k(k+1) = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}}\)

b) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) = \sum_{k=1}^n k^3 + 3 \sum_{k=1}^n k^2 + 2 \sum_{k=1}^n k = 3 \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + 3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \frac{n(n+1)}{2}}\)

[6hokage]

A jak się oblicza takie sumy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k ^{3}}\)

[frej]

Przez zaburzanie, tożsamość Abela, rachunek całkowy, różniczkowy itd.

[etyre]

Dzięki wielkie za wszystkie rozwiązane, teraz zastanawiam się, dlaczego na to nie wpadłem, skoro to takie łatwe . Mam jednak wciąż problem z tą sumą:
\(\displaystyle{ f) 1+2^2+3^3+4^4+\ldots+2007^{2007}}\)
Nie wiem, od której strony się za niego wziąć.