Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Wiader
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 13 lip 2004, o 10:31
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 3 razy

Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych.

Post autor: Wiader »

Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie a^2 - b^2 = 21.
Zgadując znalazłem dwa rozwiązania a=5,b=2 lub a=11,b=10... Czy to będą jedyne rozwiązania? Istnieje jakiś ogólny sposób rozwiązywania takich równań typu a^2 - b^2 = c w liczbach całkowitych??

z góry dzięk za odpowiedzi
pozdro...
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych.

Post autor: Tristan »

Skorzystaj z wzorów skróconego mnożenia, tj \(\displaystyle{ (a-b)(a+b)=21}\). Dzielnikami 21 są 1,3,7,21. I teraz tworzysz układy równań, w którym jednym z nich jest np. a-b=1 i a+b=21 ( kolejny to a-b=3 i a+b=7 itd.) Rozwiązaniami będą a=11 i b=10, a=-11 i b=10 itd.
Ostatnio zmieniony 18 lut 2006, o 16:31 przez Tristan, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych.

Post autor: Tomasz Rużycki »

Nie zapominajcie o tym, że \(\displaystyle{ -3\cdot -7 = 21}\) etc.
ODPOWIEDZ