Ile liczb w postaci \(\displaystyle{ 8 ^{m}+ 5^{n}}\) gdzie m i n są liczbami naturalnymi, mniejszych od 10000 daje przy dzieleniu przez 10 resztę 1? Odpowiedź uzasadnij.
ile liczb...
ile liczb...
nie wiem czy dobry dział, ale nie wiedziałem gdzie to dodać.
-
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 78 razy
ile liczb...
\(\displaystyle{ 5^{n}}\) przy n naturalnym zawsze daje resztę 5 przy dzieleniu przez 10. więc \(\displaystyle{ 8^{m}}\) musi dawać resztę 6 przy dzieleniu przez 10.
Rozpatrzmy kolejne potęgi ósemki:
8
64
512
4096
32768
Więc jedyną liczbą naturalną, która jest potęgą ósemki i daje resztę 6 z dzielenia przez 10 jest 4096.
Te szukane liczby to:
4096+5
4096+25
4096+125
4096+625
4096+3125.
Czyli jest 5 takich liczb.
Rozpatrzmy kolejne potęgi ósemki:
8
64
512
4096
32768
Więc jedyną liczbą naturalną, która jest potęgą ósemki i daje resztę 6 z dzielenia przez 10 jest 4096.
Te szukane liczby to:
4096+5
4096+25
4096+125
4096+625
4096+3125.
Czyli jest 5 takich liczb.
ile liczb...
Czemu tylko 5?
szukamy
\(\displaystyle{ 8^m+5^n = 1\ (mod\ 10)\\
5^n=5\ (mod\ 10)\\
8^m=\{8,4,2,6\}\ (mod\ 10)\\
10'000\cdot2'500=25'000'000}\)
szukamy
\(\displaystyle{ 8^m+5^n = 1\ (mod\ 10)\\
5^n=5\ (mod\ 10)\\
8^m=\{8,4,2,6\}\ (mod\ 10)\\
10'000\cdot2'500=25'000'000}\)