Kongruencja->Indukcja matematyczna -> ciąg

[szafira]

Witam was.
Potrzebuję pomocy z zadaniem.

zadanie: Treść zadania brzmi tak: Odgadnij wzór na wyraz ogólny ciągu. Postawioną hipotezę udowodnij, stosując zasadę indukcji matematycznej.

a) \(\displaystyle{ \begin{cases} a _{1}=1\\a _{n+1}=a _{n} +2n+1\end{cases}}\)
b) \(\displaystyle{ \begin{cases}a _{1}=5 \\a _{n+1}= a_{n}^{2} \end{cases}}\)

bardzo bym prosiła, z jakimś chociaż krótkim wyjaśnieniem, dlaczego wzór na wyraz ogólny jest taki a nie inny. Przy tych dwóch przykładach nie mogę na niego wpaść.

Z góry dziękuję i liczę na szybką pomoc.

[frej]

Popraw b)

W a) masz ciąg arytmetyczny.

[szafira]

nie chodzi mi o to jaki jest, tylko o znalezienie wyrazu ogólnego i rozwiązanie. b jest dobrze.

[6hokage]

B nie jest dobrze, nie masz wzoru na zależność między poprzednim i kolejnym wyrazem.
Skoro w a masz ciąg arytmetyczny, to jaki wzór będzie miał n-ty wyraz skoro każdy kolejny jest o 2 większy? Spróbuj chociaż zgadnąć, to o ile mi wiadomo, nie jest już stronka z rodzaju "nie lubie mysleć, zróbcie mi gotowca".

[szafira]

tak, racja, już poprawiłam. próbowałam i próbuję od dłuższego czasu, ale nic nie wychodzi.

[6hokage]

b)
Spójrz jak będą wyglądać kolejne wyrazy tego ciągu
\(\displaystyle{ a_1=5a}\)

\(\displaystyle{ a_2=a_1 ^{2}=5 ^{2}a ^{2}}\)

\(\displaystyle{ a_3=5 ^{4}a ^{4}}\)

\(\displaystyle{ a_4=5 ^{8}a ^{8}}\)

No to wzór ogólny na n-ty wyraz, będzie miał postać

\(\displaystyle{ a_n=(5a) ^{2 ^{n-1} }}\)

-- 22 kwi 2009, o 20:53 --

Teraz a

\(\displaystyle{ a_1=1}\)

\(\displaystyle{ a_2=1+2}\)

\(\displaystyle{ a_3=1+2+2}\)

\(\displaystyle{ a_4=1+2+2+2}\)

Spróbuj teraz sama znaleźdź wzór ogólny.

[szafira]

tam się wkradł błąd. \(\displaystyle{ a _{1}=5}\). ale mimo wszytsko bardzo było to pomocne:) dziękuję:)

[Asterius]

Myślę, że w a) chodzi o to, że \(\displaystyle{ (n+1)^{2}-n^{2}=2n+1}\), czyli są to kolejne kwadraty liczb naturalnych.