niereszta kwadratowa

az68958 · Post autor: **az68958** » 20 kwie 2009, o 23:05

Udowodnic, że 3 jest niereszta kwadratowa dla wszystkich liczb pierwszych postaci 12k+5.

frej · Post autor: **frej** » 21 kwie 2009, o 15:33

\(\displaystyle{ -1 \left( \frac{3}{12k+5} \right) =\left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{3}{12k+5} \right)=\left( \frac{3}{12k+5} \right) \left( \frac{12k+5}{3} \right)=(-1)^{6k+2}=1}\)

az68958 · Post autor: **az68958** » 21 kwie 2009, o 22:48

frej pisze:\(\displaystyle{ -1 \left( \frac{3}{12k+5} \right) =\left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{3}{12k+5} \right)=\left( \frac{3}{12k+5} \right) \left( \frac{12k+5}{3} \right)=(-1)^{6k+2}=1}\)

mozesz mi wyjasnic te przejscia?

Maciej87 · Post autor: **Maciej87** » 22 kwie 2009, o 10:15

Mniej trikaśnie:
Ponieważ \(\displaystyle{ p=12k+5\equiv 1 \mod 4}\) to z prawa wzajemności reszt kwadratowych
\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{p}\right)=\left(\frac{p}{3}\right)}\).
Następnie z okresowości, ponieważ \(\displaystyle{ p\equiv -1 \mod 3}\) to
\(\displaystyle{ \left(\frac{p}{3}\right)=\left(\frac{-1}{3}\right)=-1}\).

frej · Post autor: **frej** » 22 kwie 2009, o 13:30

Chyba nie było w tym żadnego triku

Jak mówi Maciej87 wykorzystałem prawo wzajemności reszt kwadratowych i to, że \(\displaystyle{ -1=2}\) nie jest resztą \(\displaystyle{ \pmod{3}}\).