liczby Fibonacciego a liczby naturalne

[kamiles]

Jak wykazać, że każda liczba naturalna może być przedstawiona jako skończona suma elementów ciągu Fibonacciego, w której każdy element występuje co najwyżej raz?

[Sylwek]

Indukcją, sprawdź coś małego w ramach założenia, w kroku robimy coś takiego: niech \(\displaystyle{ F_i}\) będzie takim wyrazem ciągu Fibonacciego, że: \(\displaystyle{ F_i \le n+1 < F_{i+1}}\), wówczas: \(\displaystyle{ n+1-F_i}\) z założenia da się przedstawić we wskazany sposób. Musisz tylko pokazać, że ta liczba jest mniejsza od \(\displaystyle{ F_i}\), zatem jest sumą \(\displaystyle{ F_i}\) oraz grupy różnych wyrazów ciągu Fibonacciego mniejszych od \(\displaystyle{ F_i}\), czyli może być przedstawiona jako skończona suma elementów ciągu Fibonacciego, w której każdy element występuje co najwyżej raz.

[kamiles]

Dzięki, pozdrawiam:)

[mol_ksiazkowy]

Jest to tzw. Twierdzenie Zeckendorfa,