suma cyfr kolejnych liczb

[peter13135]

mamy pierwszą liczbę =1

następnie dodajemy do niej sumę cyfr tej liczby (suma cyfr liczby 1 to 1) więc do liczby 1 dodajemy 1 i mamy 2

więc nasza kolejna liczba to 2, suma cyfr tej liczby to 2 więc do 2 dodajemy 2 i mamy 4

(...)

naszą którąś z kolei liczbą jest 16, suma cyfr tej liczby to 7, a więc 16+7 to 23

następnie będzie 28, 38...
jak to matematycznie udowodnić/sprawdzić czy liczba 123456789 wystąpi w tym "dodawaniu" ??

[kaszubki]

To tak:
suma cyfr liczby n daje przy dzieleniu przez 3 taką samą resztę, jak liczba n.
Liczba 123456789 jest podzielna przez 3. (suma cyfr to 45, a \(\displaystyle{ 45=3*15}\))
Jeżeli mamy liczbę dającą resztę 1 przy dzieleniu przez 3, to następną liczbą będzie liczba dająca resztę 2 (reszty z liczby i z sumy jej cyfr się dodają).
Jeżeli mamy liczbę dającą resztę 2 przy dzieleniu przez 3, to następną liczbą będzie liczba dająca resztę 1 (reszty z liczby i z sumy jej cyfr się dodają, czyli \(\displaystyle{ 2+2=4}\), a 4 daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3).
Więc jeżeli będziemy badać tylko reszty z dzielenia przez 3 liczb z tego ciągu , to będziemy mieli:
1,2,1,2,1,2... (na przemian jedynki i dwójki). Więc nigdy nie wystąpi w tym ciągu liczba podzielna przez 3, a 123456789 jest podzielna przez 3.