Udowodnij zależności NWD...

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
mazi_piotrek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 29 gru 2008, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek Zdrój
Podziękował: 3 razy

Udowodnij zależności NWD...

Post autor: mazi_piotrek »

Udowodnij, że jeśli dla liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, b, c}\) zachodzi \(\displaystyle{ NWD(a, c) = 1}\) i \(\displaystyle{ NWD(b, c) = 1}\), to \(\displaystyle{ NWD(ab, c) = 1}\).
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Udowodnij zależności NWD...

Post autor: BettyBoo »

Nwd(a,c)=1 to istnieją całkowite u,v takie, że au+cv=1; wtedy aub+cvb=b

Niech NWD(ab,c)=d, wtedy d|ab oraz d|c, zatem dzieli również dowolną ich kombinację, czyli w szczególności d|abu+cvb. Z powyższego mamy więc d|b. Ponieważ też d|c, to stąd d|NWD(b,c), czyli d|1 czyli d=1.

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ