Udowodnij zależności NWD...
-
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 29 gru 2008, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lądek Zdrój
- Podziękował: 3 razy
Udowodnij zależności NWD...
Udowodnij, że jeśli dla liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, b, c}\) zachodzi \(\displaystyle{ NWD(a, c) = 1}\) i \(\displaystyle{ NWD(b, c) = 1}\), to \(\displaystyle{ NWD(ab, c) = 1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Udowodnij zależności NWD...
Nwd(a,c)=1 to istnieją całkowite u,v takie, że au+cv=1; wtedy aub+cvb=b
Niech NWD(ab,c)=d, wtedy d|ab oraz d|c, zatem dzieli również dowolną ich kombinację, czyli w szczególności d|abu+cvb. Z powyższego mamy więc d|b. Ponieważ też d|c, to stąd d|NWD(b,c), czyli d|1 czyli d=1.
Pozdrawiam.
Niech NWD(ab,c)=d, wtedy d|ab oraz d|c, zatem dzieli również dowolną ich kombinację, czyli w szczególności d|abu+cvb. Z powyższego mamy więc d|b. Ponieważ też d|c, to stąd d|NWD(b,c), czyli d|1 czyli d=1.
Pozdrawiam.