Rozwiąż układ równań

[Lokaty Lokacz]

1)Proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego układu:

\(\displaystyle{ \begin{cases}(1+i)z+2w=i \\ (1-i)z-(1-i)w=-1 \end{cases}}\)

i jeszcze jedno zadanie:

2)Wyznacz odwrotność niezerowych elementów ciał \(\displaystyle{ Z_{7}}\) i \(\displaystyle{ Z_{11}}\) .

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tych 2 zadań. Z góry dziękuje.

[BettyBoo]

1) możesz rozwiązać ze wzorów Cramera, jesli je znasz; jeśli nie, to wystarczy obliczyć w z pierwszego równania i wstawić do drugiego.

2) np w Z7 - każdy element poza 0 jest odwracalny i - łatwo "na palcach" sprawdzić, że 1x1=1, 2x4=1, 3x5=1, 6x6=1 (oczywiście równości modulo 7) - i masz w ten sposób pary elementów wzajemnie odwrotnych; w Z11 też "na palcach" można.

[natkoza]

2. jeżeli nie chcesz liczyć "na palcach" a znasz bardziej zaawansowane narzędzia, to do wyznaczenia elementu odwrotnego można wykorzystać rozszerzony algorytm euklidesa

[Crizz]

1.) najłatwiej metodą wyznacznikową:
\(\displaystyle{ detA= \left| \begin{array}{cc} 1+i&2 \\ 1-i&-1+i \end{array} \right|=(i+1)(i-1)-2(1-i)=i^{2}-1-2+2i=-4+2i}\)
\(\displaystyle{ detA_{z}= \left| \begin{array}{cc} i&2 \\ -1&-1+i \end{array} \right|= i(i-1)+2=1-i}\)
\(\displaystyle{ detA_{w}= \left| \begin{array}{cc} 1+i&i \\ 1-i&-1 \end{array} \right|= -i-1-i(i-1)=0}\)

stąd \(\displaystyle{ z=\frac{detA_{z}}{detA}=\frac{1-i}{-4+2i}}\) (teraz wystarczy wykonać dzielenie),

\(\displaystyle{ w=\frac{detA_{w}}{detA}=0}\)

Sprawdź jeszcze obliczenia.