Liczby naturalne

gieri · Post autor: **gieri** » 8 lut 2006, o 18:42

Nie wiem czy to dobry dzial ;p

Mam takie zadanko

Dane sa liczby pierwsze p i q. Wykaz ze pq + 1 jerst kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy liczby p, q roznia sie o dwa.

Ja robie cos takiego:

pq + 1 = n �

p - q = 2

p = n + 2

q = n

i dalej wnioskuje

jesli p i q sa pierwsze to:

q > 0

a p ≥ 3

wiec jesli pomnozymy liczby p i q jedna z nich jest jedynka wiec zakladam ze to jest q.
wiec p = 3

potem wychodzi cos takiego 1 * 3 + 1 = 4

4 = 2 �

nie wiem cyz o cos takiego chodzilo i czy moje rozumowanie jest ok.

zadanko jest na jutro wiec prosze o to zebyscie mnie poprawili

plz

4-kasia · Post autor: **4-kasia** » 8 lut 2006, o 19:22

Jest ok!

redok · Post autor: **redok** » 8 lut 2006, o 19:48

p=q+2
\(\displaystyle{ pq+1=q(q+2)+1=q^{2}+2q+1=(q+1)^{2}}\)

q+1 to jakaś liczba naturalna, co kończy dowód

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 8 lut 2006, o 19:53

Udowodniłeś implikację w lewą stronę, tam jest równoważność, więc jeszcze w prawo została:)

\(\displaystyle{ pq+1 = n^2 \Longrightarrow q=p+2}\).

Edit

Już mam

Załóżmy, że przy pierwszych \(\displaystyle{ p,q}\) \(\displaystyle{ pq+1}\) jest kwadratem, czyli \(\displaystyle{ pq+1=n^2}\) przy pewnym naturalnym \(\displaystyle{ n}\).

Załóżmy bez straty ogólności \(\displaystyle{ p}\)

gieri · Post autor: **gieri** » 8 lut 2006, o 20:14

Dzieki !! Jestescie swietni

redok · Post autor: **redok** » 8 lut 2006, o 20:34

mam nadzieje gieri, że ci sie nie pomyla znaczki, bo ja przyjąłem że to p jest wieksze, za to Tomek przyjął że większe jest q