Mniejsze od kwadratu sumy swoich cyfr...

[atimor]

Ile jest dodatnich liczb całkowitych, które są mniejsze od kwadratu sumy swoich cyfr?

[Xitami]

od 2 do 399, 116 sztuk.

[klaustrofob]

nie - 81 odpada
----
sorry, najwyrażniej nie zrozumiałem przekazu. a liczb faktycznie jest 116 - dałem zgrubne ograniczenie 10000 i odpaliłem kod w pytonie

Kod: Zaznacz cały

def suma_cyfr(x):
    s=0
    l=x
    while l>0:
        s=s+l%10
        l=l/10
    return s

c=0
n=1
while n<10000:
    if n<(suma_cyfr(n))**2:
        c=c+1
    n=n+1

print c

[atimor]

Ale jak do tego dojść metodami matematycznymi (bez pomocy programu)? Nie będę przecież sprawdzał każdej liczby metodą prób i błędów Czy jest w ogóle jakiś czysto obliczeniowo-logiczny sposób wyprowadzenia rozwiązania?

[Maciej87]

Jak kolega napisał, wymyślasz oszacowanie, choćby takie prymitywne
\(\displaystyle{ x=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k \cdot 10^{k}}\)
wtedy
\(\displaystyle{ \left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2 < \frac{1}{n}\sum a_k^{2} \leq \sum 10^{k}\cdot a_k}\)
o ile \(\displaystyle{ n\geq 3}\).
Pokazujemy dokładnie że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\left(a_0^2+a_{n-1}^2\right)< a_0+a_{n-1}\cdot 10^{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{n}a_k^{2}\leq a_k \cdot 10^{k}}\) dla \(\displaystyle{ 0<k}\)

sprawdzamy więc liczby niewiększe 3-cyfrowe. Wiedząc to można już bardziej konkretne nierówności jakoś dalej ciągnąć.

Rozwiązania analitycznego raczej brak- chodzi przecież o nierówności na jakimś podzbiorze liczb naturalnych.
Szczerze mówiąc, uważam że takie problemy z cyframi są średnio ciekawe- niewiele mówią o strukturze liczb naturalnych. Zapiszę sobie liczbę przy podstawie \(\displaystyle{ 3}\) i wszystko się zmieni.
EDIT:
Oczywiście głupotę napisałem. Nierówność Jensena wygląda troszkę inaczej
Jeszcze raz.
Jeżeli \(\displaystyle{ n\geq 5}\) to
\(\displaystyle{ \left(\sum a_k\right)^2 \leq 81n^2 < 10^{n-1} \leq x}\)
zatem mamy \(\displaystyle{ n \leq 4}\) czyli liczby 4-cyfrowe.
Teraz prawdziwa nierówność
\(\displaystyle{ \left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k\right)^2 < n\sum a_k^{2} \leq \sum 10^{k}\cdot a_k}\)
jeśli \(\displaystyle{ n=4}\), to mamy
\(\displaystyle{ n\cdot\left(a_0^2+a_1^2+a_{n-1}^2\right)< 10^{n-1}\leq a_0+a_1\cdot 10 + a_{n-1}\cdot 10^{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ n\cdot a_k^{2}\leq a_k \cdot 10^{k}}\) dla \(\displaystyle{ k=2}\)
więc jednak wystarczy rozpatrzyć \(\displaystyle{ n\leq 3}\).

[abc666]

No raczej inaczej nie zrobisz, jeszcze można zauważyć że suma cyfr jest trochę okresowa dla n-cyfrowej liczby
np 2-cyfrowe

Kod: Zaznacz cały

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
...

Wiec kwadraty też będą się tak układać, można zrobić jakąś sprytną tabelkę która to ułatwi jeszcze