Rozwiązać takie kongruencje

[Grimmo]

Rozwiązać takie kongruencje.

\(\displaystyle{ a) 10x \equiv 1(mod37)}\)

\(\displaystyle{ b) 5x \equiv 1(mod26)}\)

\(\displaystyle{ c) 17x \equiv 1(mod26)}\)

\(\displaystyle{ d) 8x \equiv 6(mod15)}\)

\(\displaystyle{ e) 643x \equiv 1(mod2000)}\)

Mi wyszły takie wyniki:
a) x=3
b) x=5
c) x=8
d) x=7
e) x=3

lecz nie wiem czy one są poprawne.

i mam pytanie znalazłem na forum taki temat https://www.matematyka.pl/79685.htm i mam prośbę czy mógłby mi ktoś wyjaśnić dlaczego w tym pierwszym rozwiązaniu tam nagle pojawia się -2t?

[Artist]

a)
\(\displaystyle{ 10x \equiv1 \ (mod \ 37) \Rightarrow 10x-1=37k \Rightarrow 10x-37k=1}\)

Z algorytu Euklidesa:
37:10=3r.7
10:7=1r.3
7:3=2r.1
3:1=3

\(\displaystyle{ 1=7-2\cdot3=7-2(10-7)=-2\cdot10+3\cdot7=-2 \cdot 10+3(37-3\cdot10)=-2\cdot10+3\cdot37-9\cdot10=-11 \cdot 10+3\cdot37}\)

CZyli x równa się np.-11.

Zauważ, ze \(\displaystyle{ 3\cdot10-1 \neq 37k \ dla \ k \in C}\)
C-zbiór liczb całkowitych.

Ogólnym rozwiązaniem będzie:
\(\displaystyle{ x=-11+37t \wedge k=-3+10t}\)
Reszta analogicznie.
Odpowiadając na pytanie na końcu

\(\displaystyle{ 14\equiv-2 \ (mod \ 16)}\)
Więc można używać zarówno 14 jak i -2. Nie ma w tym błedu.