Znajdź wszystkie pary liczb

[meffiu_muvo]

Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych spełniających równanie \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=18}\)

[Sweet_uczenica]

A jaki masz w tym problem ???

[meffiu_muvo]

Problem jest wyzej wymieniony w zadaniu;)



sprawa latwiejsza bylaby, gdyby bylo \(\displaystyle{ x ^{2}-y ^{2}}\) ale jest innaczej,

czy moge zapisac to tak?:
\(\displaystyle{ (x+y)(x+y)=2(9+xy)}\)
i z tego zapisac alternatywy rowniania

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=2 \\ x+y=9+xy \end{cases}}\)

co daje mi brak rozwiazan...

[Althorion]

Przyznam się szczerze, że przy tak małym wyniku podszedłbym do sprawy po prostu sprawdzając wszystkie możliwe liczby naturalne. I wychodzi w moment, że to poza parą trójek nic naturalnego się już nie znajdzie.

[meffiu_muvo]

tak, rownanie ma rozwiazanie dla x=3 i y=3, ale jak to teraz wykazać?
Nie moge tego tam po porsu podac... bo jak byloby \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=2448}\)
to raczej sprawdac tak po kolei to ciezko byloby

[Althorion]

Podstawiając.

\(\displaystyle{ Niech}\) \(\displaystyle{ x:=3 \wedge y:=3}\)
\(\displaystyle{ wtedy}\) \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18}\)
\(\displaystyle{ qed}\)

Pozostałe też można podstawiając:
\(\displaystyle{ x:=0 \Rightarrow y^2 = 18 \Rightarrow y \notin \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ x:=1 \Rightarrow y^2 = 18 - 1 = 17 \Rightarrow y \notin \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ x:=2 \Rightarrow y^2 = 18 - 4 = 14 \Rightarrow y \notin \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ x:=4 \Rightarrow y^2 = 18 - 16 = 2 \Rightarrow y \notin \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ x \ge 5 \Rightarrow y^2 \le 18 - 25 = -7 \Rightarrow y \notin \mathbb{N}}\)

Zapewne dałoby się ładniej, inaczej (przez równania), ale przyznam się szczerze, że 18 jest na tyle małą liczbą, że nie chciało mi się myśleć.

[Nakahed90]

Obie strony są dodatnie, wiemy, że obie liczby nalezą do liczb naturalnych możemy więc ograniczyć ich ilość i sprawdzić tylko 4 wartości
\(\displaystyle{ D:x,y\in N}\)
\(\displaystyle{ x^{2}<18 \iff x\in \{1,2,3,4\}}\)
\(\displaystyle{ x=1 \Rightarrow y^{2}=17 \iff y\in \phi}\)
\(\displaystyle{ x=2 \Rightarrow y^{2}=15 \iff y\in \phi}\)
\(\displaystyle{ x=3 \Rightarrow y^{2}=9 \iff y=3 \in D}\)
\(\displaystyle{ x=4 \Rightarrow y^{2}=2 \iff y\in \phi}\)
Czyli jedyną parą \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest \(\displaystyle{ (3,3)}\)

[Artist]

To zadanie wiąże się niejako z rozkładem liczby na sumę dwóch kwadratów.
18 jest postaci 4k+2 (nie jest postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\), więc ma rozwiązania.)

Gdyby w rozkładzie na wspomianą sumę miała liczbę postaci 4k to kwadrat drugiej liczby przy dzieleniu przez 4 dałby reszte 2; sprzeczność.
Poobnie zauważamy, że nie ma w rozkładzie liczb postaci 4m+2.

Pozostały nam dwie postacie liczb 4k+1 i 4l+3, w naszym zbiorze to 1 i 3 wystarczy, więc sprawdzić czy wśród nich nie ma rozwiązań.

A jeśli chodzi o liczbę 2448 to jest postaci 4k ma więc rozkład na sumę kwadratów.
Teraz x,y będą postaci 4k lub 4l+2.
I przypadek
\(\displaystyle{ (4k)^{2}+4(2l+1)^{2}=2448}\) przez 4
\(\displaystyle{ 4k^{2}+(2l+1)^{2}=612}\)
Zauważmy teraz, ze prawa jest podzielna przez4 a lewa nie, sprzeczność
II przypadek
\(\displaystyle{ (4k)^{2}+(4l)^{2}=2448}\)
\(\displaystyle{ 16(k^{2}+l^{2})=2448}\)
\(\displaystyle{ k^{2}+l^{2}=153}\) Teraz szukamy czy 153 jest sumą kwadratów dwóch liczb. Postać 4k+1 więc jest.
Nie będę pisał obliczeń tylko wynik k=12 l=3;
Podstawiając do naszych liczb x=48 i y=12
III przypadek
\(\displaystyle{ 4(2k+1)^{2}+4(2l+1)^{2}=2448}\)
\(\displaystyle{ (2k+1)^{2}+(2l+1)^{2}=612}\)
Prawa jest podzielna przez 4 więc i lewa musi, ale po lewej są same liczby nieparzyste których suma kwadratów będzie podzielna przez 2 ale nie przez 4. Sprzeczność.

Trochę to zawiłe ale nie aż takie trudne. Przydatne przy liczbach kilku cyfrowych. Nawet dla 4 jest mało wydajne, ale dla 5, 6 cyfrowych Po za tym możemy od razu wykluczyć 25% cyfr, ze sa nierozkladalne lub zawęzić obszar poszukiwań.

[Maciej87]

To zadanie wiąże się niejako z rozkładem liczby na sumę dwóch kwadratów.

Z tym to jest trochę inaczej:

Liczba jest sumą dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, kiedy każdy dzielnik pierwszy postaci \(\displaystyle{ p=4k+3}\) występuje w potędze parzystej.
Wniosek. Jeśli liczba jest postaci \(\displaystyle{ 4k+3}\) to nie jest sumą kwadratów (bo jeśli wszystkie \(\displaystyle{ p=4k+3}\) są w potęgach parzystych to mamy resztę \(\displaystyle{ 1 \mod 4}\).
Wniosek 2. Iloraz liczb będących sumami kwadratów jest sumą kwadratów.

Wnioski dalsze:
Postać \(\displaystyle{ n=4k}\) nie ma na to wpływu.
Reszta \(\displaystyle{ 1 \mod 4}\) również o niczym nie przesądza.
Liczby \(\displaystyle{ 2448,153}\) rzeczywiście są sumą kwadratów.

Przedstawienia i wzór na ilość da się chyba uzyskać rozważając rozkłady w eklidesowym pierścieniu
\(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), gdzie \(\displaystyle{ (x+iy)(x-iy)=18}\).
Trzeba by zajrzeć najprędzej do Sierpińskiego, bo tam to chyba widziałem ładnie omówione parę miesięcy temu.
Problem nie jest banalny.