rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+1)^{2}(y+1)^{2}=27xy \\ (x ^{2}+1)(y ^{2}+1)=10xy \end{cases}}\)
układ równań
-
klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
układ równań
podstawmy \(\displaystyle{ x=\tg a,\, y=\tg b}\). układ przyjmie postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
(\tg a+1)^{2}(\tg b+1)^{2}=27\tg a\tg b \\
(\tg^2 a+1)(\tg^2 a+1)=10\tg a\tg b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
(\frac{\sin a +\cos a }{\cos a})^{2}(\frac{\sin b +\cos b }{\cos b})^{2}=27\frac{\sin a \sin b}{\cos a \cos b}\\
\frac{1}{\cos^2 a}\frac{1}{\cos^2 b}=10\frac{\sin a \sin b}{\cos a \cos b}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
(1+\sin 2a)(1+\sin 2b)=\frac{27}{4}\sin 2a \sin 2b\\
1=\frac{10}{4}\sin 2a \sin 2b\end{cases}}\)
po wymnożeniu w pierwszym i redukcji z wykorzystaniem drugiego
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\sin 2a+\sin 2b=\frac{13}{10}\\
\sin 2a \sin 2b=\frac{4}{10}\end{cases}}\)
rozwiązaniem układu są \(\displaystyle{ \sin 2a =\frac{1}{2},\, \sin 2b=\frac{4}{5}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin 2a =\frac{4}{5},\, \sin 2b=\frac{1}{2}}\), czyli liczby dość porządne. trzeba jeszcze wyznaczyc \(\displaystyle{ \tg a, \, \tg b}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases}
(\tg a+1)^{2}(\tg b+1)^{2}=27\tg a\tg b \\
(\tg^2 a+1)(\tg^2 a+1)=10\tg a\tg b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
(\frac{\sin a +\cos a }{\cos a})^{2}(\frac{\sin b +\cos b }{\cos b})^{2}=27\frac{\sin a \sin b}{\cos a \cos b}\\
\frac{1}{\cos^2 a}\frac{1}{\cos^2 b}=10\frac{\sin a \sin b}{\cos a \cos b}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
(1+\sin 2a)(1+\sin 2b)=\frac{27}{4}\sin 2a \sin 2b\\
1=\frac{10}{4}\sin 2a \sin 2b\end{cases}}\)
po wymnożeniu w pierwszym i redukcji z wykorzystaniem drugiego
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\sin 2a+\sin 2b=\frac{13}{10}\\
\sin 2a \sin 2b=\frac{4}{10}\end{cases}}\)
rozwiązaniem układu są \(\displaystyle{ \sin 2a =\frac{1}{2},\, \sin 2b=\frac{4}{5}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin 2a =\frac{4}{5},\, \sin 2b=\frac{1}{2}}\), czyli liczby dość porządne. trzeba jeszcze wyznaczyc \(\displaystyle{ \tg a, \, \tg b}\).
-
klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
układ równań
do wyliczenia tangensów korzystasz ze wzoru:
\(\displaystyle{ \tg x=\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}}\)
jeżeli \(\displaystyle{ \sin 2a=0,5}\), to albo \(\displaystyle{ \cos 2a=\frac{\sqrt{3}}{2}}\), albo \(\displaystyle{ \cos 2a=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\). dla przykładu pójdę pierwszym tropem: \(\displaystyle{ \tg a=\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}=\frac{0,5}{1+0,5\sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}}\) i to jest x. dla odpowiadającego mu y mamy \(\displaystyle{ \sin 2b=0,8}\), skąd albo \(\displaystyle{ \cos 2b=0,6}\), albo \(\displaystyle{ \cos 2a=-0,6}\). sprawdzę tylko pierwszą ewentualność. wtedy \(\displaystyle{ \tg b=\frac{\sin 2b}{1+\cos 2b}=\frac{0,8}{1+0,6}=0,5}\) i sprawdza się, że ta para jest rozwiązaniem. itd.
\(\displaystyle{ \tg x=\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}}\)
jeżeli \(\displaystyle{ \sin 2a=0,5}\), to albo \(\displaystyle{ \cos 2a=\frac{\sqrt{3}}{2}}\), albo \(\displaystyle{ \cos 2a=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\). dla przykładu pójdę pierwszym tropem: \(\displaystyle{ \tg a=\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}=\frac{0,5}{1+0,5\sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}}\) i to jest x. dla odpowiadającego mu y mamy \(\displaystyle{ \sin 2b=0,8}\), skąd albo \(\displaystyle{ \cos 2b=0,6}\), albo \(\displaystyle{ \cos 2a=-0,6}\). sprawdzę tylko pierwszą ewentualność. wtedy \(\displaystyle{ \tg b=\frac{\sin 2b}{1+\cos 2b}=\frac{0,8}{1+0,6}=0,5}\) i sprawdza się, że ta para jest rozwiązaniem. itd.