Wykazać podzielność przed 7

[citmichal]

Witam,
Mam problem z zadaniem a właściwie jego końcówką. Mianowicie, muszę wykazać, że:
\(\displaystyle{ 7|(5^{12}-1)}\)
Zadanie, wymagało wykazania że \(\displaystyle{ 182|(5^{12}-1)}\) i paru innych rzeczy ale z tym sobie poradziłem. Mogę podpowiedzieć, że korzystałem z Małego Twierdzenie Fermata (do udowodnienia podzielności przez 13) oraz tego, że \(\displaystyle{ 182=13*2*7}\) (dowód podzielności przez 2 był prosty, zostało tylko 7...).
Oczywiście można to policzyć ale to chyba nie o to chodzi...
Jako podpowiedź, mogę powiedzieć, że jest to prawda (w sumie zadanie jest "wykaż", a nie "sprawdź")
Pozdrawiam

[Brzytwa]

Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ 5^{3} = -1 (mod \ 7)}\)

Po podniesieniu do 4 potęgi natychmiast otrzymujemy tezę.

[citmichal]

Nie bardzo rozumiem, jak podnieść do potęgi wyrażenie \(\displaystyle{ -1 (mod \ 7)}\)
Czy mógłbyś pokazać jak to zrobić?

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ 5^{3} = -1 (mod 7) \Rightarrow 5^{12}\equiv (-1)^{4}\equiv 1(mod7) \Rightarrow 5^{12}-1\equiv 0(mod7)}\)

[xanowron]

Po co armata na muchę?
\(\displaystyle{ 5^{12}-1=(5^{6}-1)(5^{6}+1)=(5^{3}-1)(5^{3}+1)(5^{6}+1)}\)
\(\displaystyle{ 5^{3}+1=126=18 \cdot 7}\)

[frej]

\(\displaystyle{ 7|5^6-1=5^{\varphi(7)}-1}\)
Autor wspominał coś o tw. Fermata
\(\displaystyle{ 5^{12}-1=(5^6-1)(5^6+1)}\)