Która z liczb jest liczbą wymierną okresową i dlaczego?

[Crazy_Boy_1993]

Która z liczb jest liczbą wymierną okresową i dlaczego?

a) \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)
b) liczba PI
c) 0,1 \(\displaystyle{ \left(6\right)}\)
d) 2,1
e) 0,88

[LastSeeds]

c) bo mozna ja zapisac w postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

[Frey]

c) bo mozna ja zapisac w postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)

a \(\displaystyle{ 0,5 = \frac{1}{2}}\)

I co z tego?

a) sqrt{3}
b) liczba PI
c) 0,1 left(6
ight)
d) 2,1
e) 0,88

a)niewymierna
b)niewymierna z powodu niebanalnego
c)wymierna okresowa. W postaci ułamka dziesiętnego posiada okresową (6). Tak sie oznacza okresowość
d i e)wymierne

[LastSeeds]

lol haha

[Frey]

lol haha

że co?

[patry93]

lol haha

że co?

Prawdopodobnie to, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) nie jest ułamkiem okresowym

[Frey]

Mi chodziło o to, że jeśli coś dziesiętnego możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego, no nie oznacza to, że coś jest okresowe

Zresztą pytanie w temacie jest banalne. Każdy wie o co chodzi

[frej]

Jeśli się nie mylę, to prawdziwe jest coś takiego:

Niech \(\displaystyle{ x=\frac{p}{q}}\) będzie nieskracalną liczbą wymierną. Liczba \(\displaystyle{ x}\) ma
\(\displaystyle{ 1^\circ}\) skończone rozwinięcie okresowe wt. i tylko wt. gdy \(\displaystyle{ q=2^a 5^b \quad a,b \in \mathbb{N}_0}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ}\) nieskończone wt. i tylko wt. gdy \(\displaystyle{ q=2^a 5^b c \quad a,b,c \in \mathbb{N}_0 \quad c\ge 3 \quad 2 \nmid c \; \wedge \; 5 \nmid c}\)


Dowód jest prosty i korzysta się z definicji ułamka dziesiętnego.

[Maciej87]

Zaraz zaraz.
Jeśli liczba \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest wymierna i \(\displaystyle{ q=2^{a}5^{b}}\) to rozwinięcie jest po prostu skończone.
Jeśli liczba jest wymierna i nie jest tej powyższej postaci, to rozwinięcie jest okresowe.
(Że nie jest skończone, to jest oczywiste).
Niech \(\displaystyle{ q=2^{a}5^{b}q'}\) i \(\displaystyle{ 2,5\not|q'}\)
Istnieje takie \(\displaystyle{ k}\) że \(\displaystyle{ 2^{a}5^{b}|10^{k}}\)
Istnieje takie \(\displaystyle{ l}\) że \(\displaystyle{ q'|\left(10^{l}-1\right)}\).
(Twierdzenie Eulera).
Wtedy \(\displaystyle{ \frac{p}{q}\cdot10^{k}\left(10^{l}-1\right)=n}\) jest całkowita.
Zatem \(\displaystyle{ \frac{p}{q}=\frac{1}{10^{k}}\cdot \frac{n}{10^{l}-1}}\)
O tej ostatniej licznie łatwo już udowodnić że ma rozwinięcie okresowe długości \(\displaystyle{ l}\).
Jeśli podzielić z resztą \(\displaystyle{ n=a\left(10^{l}-1\right)+n'}\) to ułamek
\(\displaystyle{ \frac{n}{10^{l}-1}}\) ma okres o takich cyfrach jak \(\displaystyle{ n'}\), bowiem
\(\displaystyle{ \frac{n'}{10^{l}-1}=\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{n'}{10^{l\cdot j}}}\)
zaś rozwinięcie \(\displaystyle{ n'}\) jest najwyżej długości \(\displaystyle{ l}\), tj. powiela się rozwinięcie \(\displaystyle{ \frac{n'}{10^{l}}}\).
Widać też jakie jest oszacowanie na długość rozwinięcia.

[LastSeeds]

autor ma 16 lat.

[frej]

Ech, za szybko chciałem to zrobić. Dzięki Maciej87 za sprostowanie.

[Maciej87]

Owszem, ale frej wspomniał, kiedy rozwnięcie może być skończone a kiedy nie.
To jest proste.
Jednak ja dla kompletności podkreślam że rozwinięcie nieskończone musi być okresowe, bo tego używamy w zadaniu, prawda?
To z kolei nie jest takie znowu proste.

[frej]

LastSeeds, czy to, że chodzę do pierwszej liceum znaczy, że nie mam prawa zrozumieć dowodu Macieja87 ?

[Maciej87]

Jak ja miałem 16 lat, to też się nad tym zastanawiałem. Np. dlaczego \(\displaystyle{ \frac{1}{19}}\) nie może mieć \(\displaystyle{ 20-}\) cyfrowego okresu.

[frej]

Prawdopodobnie nie wpadłbym na to sam ale dowód jest ładny i elementarny, warto zapamiętać. Dzięki za przedstawienie dowodu.