Przybliżanie liczb niewymiernych

[mko13]

Jak to było z przybliżaniem liczb niewymiernych? Jak się to uzasadnia,że np. \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) to jest około \(\displaystyle{ 1.4142...}\) ? Z góry dzięki za pomoc.

[mko13]

Czy to da się to jakoś uzasadnić w sposób elementarny. np na poziomie liceum,albo gimnazjum?

[6hokage]

Chyba tylko metodą prób i błędów. Najpierw zakładasz se, że \(\displaystyle{ \sqrt(2)=1.4}\), mnozysz i widzisz, że za mało. No to dodajesz jeszcze 0.01 wychodzii 1.41, nadal za mało. No to może 1.42. - za dużo, w takim razie może 1.414 itd.....

[Nakahed90]

Rozwinąć to w szereg Taylora.

[6hokage]

Taylor nie jest na poziomie liceum, tym bardziej gimnazjum. No przynajmniej ja miałem to dopiero na studiach.

[Frey]

Rozwinąć to w szereg Taylora.

To nie jest poziom liceum.

łatwiej rozwinąć chyba w ułamek łańcuchowy, i oto rozwiązanie chyba chodzi

[Xitami]

uzasadnic mozna tak:
\(\displaystyle{ 1,4142\cdot1.4142 = 1,99996164}\)

obliczyc mozna np.
metoda siecznych albo
prosttza rachunkowo polowienia przedzialu (bisekcja)

\(\displaystyle{ f(x)=x^2-2}\)
\(\displaystyle{ x_=0, x_1=2}\)

[Frey]

uzasadnic mozna tak:
\(\displaystyle{ 1,4142\cdot1.4142 = 1,99996164}\)

Dlaczego zakładasz że przybliżenie 1,999961... jest lepsze od 2,000001...

"prosttza rachunkowo polowienia przedzialu (bisekcja)" możesz zaprezentować tą metodę, bo nie znam jej chętnie poznam.

[6hokage]

To metoda wykorzystywana w informatyce, tak mało wydajna, że raczej nie warto słuchać, no ale opowiem:
Dzielisz zbiór (1,2) na pół czyli na zbiory (1,1.5) i (1.5,2) podnosisz 1.5 do kwadratu i widzisz, że za dużo, czyli pierwiastek jest w tym pierwszym zbiorze. Dzielisz go więc na pół i robisz to samo co poprzednio i tak do skutku, aż otrzymasz żądane przybliżenie. Stąd nazwa metoda bisekcji, bo dzielisz każdy podzbiór na dwa. Metoda siecznych, zwana też chyba metodą Newtona, jest znacznie bardziej skomplikowana, wpisz w google bo nie chce mi się tłumaczyć.

[Frey]

a fakt rozumiem o co chodzi, tak po nazwie się nie domyśliłem, metoda bardzo łatwa więc faktycznie można tutaj użyć

[6hokage]

A propo (chyba tak się to pisze) pytania Freya, dlaczego to pierwsze przybliżenie jest lepsze od drugiego, wydaje mi się, że jakiś nauczyciel mi mówił, iż przyjęło się wybierać przybliżenie nie wieksze od szukanej liczby (o ile to mozliwe). Ale to tylko umowa, więc w sumie pytanie słusznie postawione.

[Frey]

Ja wiem, że przybliża się raczej tak żeby suma składowych nie przekroczyła liczby. Np. tak przybliżają komputery. Ale nikt nie mówi że takie przybliżenie jest lepsze, więc w takich przypadkach raczej trzeba mieć metoda, a nie przybliżać od tak sobie "bo wychodzi"

[Sherlock]

Do obliczenia przybliżonej wartości pierwiastka kwadratowego z liczby naturalnej można wykorzystać algorytm "pisemnego pierwiastkowania":

[xiikzodz]

Można tak:

Sposób "brute force":

Wybieramy liczbę naturalna \(\displaystyle{ N}\) - im większa, tym przybliżenie będzie dokładniejsze.

Znajdujemy \(\displaystyle{ K=K(N)\in\mathbb{N}}\) takie, że

\(\displaystyle{ (K+1)^2\ge 2N^2\ge K^2}\),

wówczas liczba

\(\displaystyle{ \frac{K}{N}}\)

jest dobrym przybliżeniem \(\displaystyle{ \sqrt 2}\), a dokładniej

\(\displaystyle{ \lim_{N\to\infty}\frac{K(N)}{N}=\sqrt 2}\).

Sposób cwany:

Przypuśćmy, że mamy już jakieś przybliżenie:

\(\displaystyle{ \frac pq\approx\sqrt 2}\)

dla \(\displaystyle{ p,q\in\mathbb{N}}\).

Rozważmy wówczas liczbę wymierną:

\(\displaystyle{ \frac{p^2+2q^2}{2qp}}\)

Ta liczba znacznie lepiej przybliża \(\displaystyle{ \sqrt 2}\), czyli jeśli wystartujemy z dowolnej liczby wymiernej to już w kilku (z grubsza liczba kroków to logarytm z liczby startowej) krokach zbliżymy się istotnie do \(\displaystyle{ \sqrt 2}\). Niesety do zrozumienia, dlaczego to działa, potrzebne będą szacowania lub pozaszkolna teoria.