Czy istnieja takie liczby...?

Unsurpassed · Post autor: **Unsurpassed** » 27 sty 2006, o 20:24

Ostatnio wpadły mi w ręce zadania, z jakimi musieli uporać się gimnazjaliści na jakimś szkolnym konkursie. Choć poziom niewygórowany, większość zadań prosta (by nie powiedzieć, że banalna), jedno zadanie mnie rozwaliło

A oto i one:

Zad. Czy istnieją takie liczby x, y, z należące do zbioru liczb całkowitych spełniające poniższy warunek?
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - 4z = 3}\)

Jakieś pomysły?

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 27 sty 2006, o 20:29

rozwaz mozliwe restzy z dzielenia prawej strony przez 4, w zaleznosic od restz z dzieleni parzez 4 x y i z

Unsurpassed · Post autor: **Unsurpassed** » 27 sty 2006, o 21:12

Dzięki. Metoda świetna!

Teraz postaram się napisać rowiązanie.

Równanie możemy przekształcić do nast. postaci:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4z+3}\)

Reszta z dzielenia prawej strony przez 4 wynosi 3. (Fachowo zapisuje się to chyba tak: \(\displaystyle{ 4z+3\:mod\:4\equiv 3}\) jeśli się mylę - poprawcie mnie.)

Rozważamy możliwe reszty z dzielenia: \(\displaystyle{ x^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y^{2}}\) przez 4.

\(\displaystyle{ ((x^2\equiv0(mod\,4))\wedge(y^2\equiv0(mod\,4)))\Rightarrow(x^{2}+y^{2})\equiv0(mod\,4)\\(x^2\equiv0(mod\,4))\wedge(y^2\equiv1(mod\,4)))\Rightarrow(x^{2}+y^{2})\equiv1(mod\,4)\\((x^2\equiv0(mod\,4))\wedge(y^2\equiv2(mod\,4)))\Rightarrow(x^{2}+y^{2})\equiv0(mod\,4)\\(x^2\equiv0(mod\,4))\wedge(y^2\equiv3(mod\,4)))\Rightarrow(x^{2}+y^{2})\equiv1(mod\,4)\\((x^2\equiv1(mod\,4))\wedge(y^2\equiv1(mod\,4)))\Rightarrow(x^{2}+y^{2})\equiv2(mod\,4)\\((x^2\equiv1(mod\,4))\wedge(y^2\equiv2(mod\,4)))\Rightarrow(x^{2}+y^{2})\equiv1(mod\,4)\\((x^2\equiv1(mod\,4))\wedge(y^2\equiv3(mod\,4)))\Rightarrow(x^{2}+y^{2})\equiv2(mod\,4)\\(x^2\equiv2(mod\,4))\wedge(y^2\equiv2(mod\,4)))\Rightarrow(x^{2}+y^{2})\equiv0(mod\,4)\\((x^2\equiv2(mod\,4))\wedge(y^2\equiv3(mod\,4)))\Rightarrow(x^{2}+y^{2})\equiv1(mod\,4)\\((x^2\equiv3(mod\,4))\wedge(y^2\equiv3(mod\,4)))\Rightarrow(x^{2}+y^{2})\equiv2(mod\,4)}\)

W pozostałych przypadkach analogicznie.

Reszta z dzielenia przez 4 po prawej jest równa 3, a reszta z dzielenia przez 4 po lewej jest różna od 3. Zatem takie liczby nie istnieją.

Łaaaaleś z bazooki pojechał, chłopie Poprawiłem zapis kongruencji a podpowiedź do uproszczenia tego przedstawiam poniżej - DEXiu

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 27 sty 2006, o 21:33

Zauważ, że można było pominąć tego kolosa, którego samo napisanie zajęło ci pewnie z 10 minut (pomijając fakt, że masz parę istotnych błędów). Stosunkowo łatwo wykazać (może trochę trudniej zauważyć), że jeśli \(\displaystyle{ x\in\mathbb{Z}}\) to wówczas \(\displaystyle{ x^{2}\equiv0(mod\,4)\,\vee\,x^{2}\equiv1(mod\,4)}\) Innej możliwości nie ma. Dzięki temu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}\equiv0(mod\,4)\,\vee\,x^{2}+y^{2}\equiv1(mod\,4)\,\vee\,x^{2}+y^{2}\equiv2(mod\,4)}\) co natychmiast daje nam to co chcieliśmy otrzymać - sprzeczność, gdyż jak sam zauważyłeś prawa strona przystaje 3 (mod 4), a lewa 0, 1 lub 2

Unsurpassed · Post autor: **Unsurpassed** » 27 sty 2006, o 22:10

Tego kolosa można było prościej napisać - w normalnych warunkach (kartka papieru) narysowałbym tabelkę

Rzeczywiście, z rozwiązaniem miałeś rację. W pierwszej klasie liceum miałem "przystawanie", "modulo" etc. więc mogło pojawić się w moich zapiskach kilka błędów.

Pozdrawiam sedecznie i życzę udanego weekendu

g · Post autor: g » 27 sty 2006, o 22:48

pomijacie chyba fakt, ze z tego kolosa nic nie wynika... linijki: trzecia, czwarta, szosta i siodma sa nieprawdziwe.