definicja pierwiastka

[maly6f6]

Witam!!! Nie jestem pewien czy jest to odpowiedni dział dla mojego pytania więc mam nadzieje że dobrze wybrałem
Otóż w pewnej książce znalazłem stwierdzenie że poniższa definicja pierwiastka jest niejednoznaczna!
\(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}} = \pm a , \sqrt{a^{5}} = \pm a^{2} \sqrt{a} , \sqrt{ a^{2}-2ab+ b^{2}} = \pm (a-b)}\)
Czy ktoś mógłby mi powiedzieć z czego to wynika??!
Za wszelką pomoc z góry dziękuję!!!

[Brzytwa]

Generalnie wszystko wynika z równości \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}}=|x|= \pm x}\) Bierze się to stąd, że liczba po spierwiastkowaniu musi być nieujemna (z definicji), a przecież nie wiadomo, jakiego znaku jest x.

[Rogal]

"Generalniej" to raczej z tego, że parabola na R nie jest funkcją różnowartościową, więc nie istnieje funkcja do niej odwrotna.

[Brzytwa]

"Generalniej" to raczej z tego, że parabola na R nie jest funkcją różnowartościową, więc nie istnieje funkcja do niej odwrotna.

No nie do końca, bo funkcję można zacieśnić (co zresztą się robi), tak aby była odwracalna. A zacieśnić można więcej niż na 1 sposób. A jak przyjmiemy, że pierwiastek z liczby \(\displaystyle{ a}\) to taka liczba nieujemna \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ b^{2}=a}\) to mamy odpowiedź jednoznaczną.

[Rogal]

Dobrze, ale właśnie dlatego, że na R nie jest różnowartościowa, to można ów pierwiastek różnie sobie definiować, stąd pojawiają się niejednoznaczności.
Nikt nam nie zabroni zdefiniować pierwiastka, żeby był liczbą ujemną, która podniesiona do kwadratu daje to, co powinna. Również można zdefiniować pierwiastek jako funkcję wieloznaczną (podobnie jak w zespolonych) i świat się nie wali.
Mimo wszystko pojęcie pierwiastka arytmetycznego jest użyteczne i proste, więc chętnie z niego wszyscy korzystają.