NWW(a,b)*NWD(a,b)=a*b dowód

[Niewiem]

mam problem z powyższym dowodem.. Próbowałam z definicji, ale do niczego nie doszłam;/ Proszę o pomoc;)

[Artist]

Polecam "Teoria Liczb" Sierpińskiego. Jest dostępna w internecie do pobrania. Jeden z pierwszych rozdziałów. Tam znajduje się dowód.

Pozdrawiam

[timon92]

\(\displaystyle{ a=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_n^{\alpha_n}}\)
\(\displaystyle{ b=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_n^{\beta_n}}\)
\(\displaystyle{ NWW(a,b)=p_1^{max(\alpha_1,\beta_1)}p_2^{max(\alpha_2,\beta_2)}...p_n^{max(\alpha_n,\beta_n)}}\)
\(\displaystyle{ NWD(a,b)=p_1^{min(\alpha_1,\beta_1)}p_2^{min(\alpha_2,\beta_2)}...p_n^{min(\alpha_n,\beta_n)}}\)
\(\displaystyle{ NWD(a,b)\cdot NWW(a,b) = p_1^{min(\alpha_1,\beta_1)}p_2^{min(\alpha_2,\beta_2)}...p_n^{min(\alpha_n,\beta_n)} \cdot p_1^{max(\alpha_1,\beta_1)}p_2^{max(\alpha_2,\beta_2)}...p_n^{max(\alpha_n,\beta_n)}=p_1^{min(\alpha_1,\beta_1)+max(\alpha_1,\beta_1)}p_2^{min(\alpha_2,\beta_2)+max(\alpha_2,\beta_2)}...p_n^{min(\alpha_n,\beta_n)+max(\alpha_n,\beta_n)}=p_1^{\alpha_1+\beta_1}p_2^{\alpha_2+\beta_2}...p_n^{\alpha_n+\beta_n}=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_n^{\alpha_n}\cdot p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_n^{\beta_n}=a\cdot b}\)

[Niewiem]

Dziękuję bardzo za pomoc, tyle tylko, że jeszcze po drodze muszę również udowodnić, że zachodzą te wzory na NWD i NWW iż są to iloczyny liczb pierwszych (rozkładu liczb a i b) przy potędze: min{a1,b1}, ... , min {an, bn} i odpowiednio max.. Jakby jeszcze ktoś był miły, będę wdzięczna:)

[Artist]

Wystarczy zauważyć, że każdą liczbę złożoną możemy rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych. (Znowu Teoria Liczb).