Przeglądając forum trafiłem na zadanie, które zrobiłem, ale... Jeden z userów wysunął tezę, że \(\displaystyle{ 19}\) dzieli \(\displaystyle{ \underbrace{2222\ldots 23 }_{1986}}\). Mi wyszło, że przy dzieleniu dostajemy resztę równą 18.
W razie czego zamieszczę swoje rozwiązanie do weryfikacji.
2222.....23 i podzielność przez 19
-
Artist
- Użytkownik
- Posty: 865
- Rejestracja: 27 sty 2008, o 21:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 239 razy
2222.....23 i podzielność przez 19
Mi też wyszło 18, więc tyle wyjdzie. Ładny dowód swoją drogą, ja się napisałem ;p
\(\displaystyle{ 2222....23=20\cdot 10^{1984}+20 \cdot 10^{1983}+.....+20 \cdot 10^{1}+20 \cdot 10^{0}+3 \equiv 10^{1984}+10^{1983}+...+10^{0}+3 \equiv 10^{4}+10^{3}+...+10^{0}+3 \equiv 11111+111111111111111111 \cdot 110+3 \equiv 11111+3=11114 \equiv 18 \ (mod 19)}\)
Mój sposób jest o tyle gorszy, że trzeba dodatkowo udowodnić, że 111111111111111111 (18 jedynek) jest podzielna przez 19. Można z własności dzielenia. Po za tym skorzystałem jeszcze z kongrugencji tej co i Ty.
Temat jeszcze się nie wyczerpał. Udowodnij, że ta liczba jest złożona.
\(\displaystyle{ 2222....23=20\cdot 10^{1984}+20 \cdot 10^{1983}+.....+20 \cdot 10^{1}+20 \cdot 10^{0}+3 \equiv 10^{1984}+10^{1983}+...+10^{0}+3 \equiv 10^{4}+10^{3}+...+10^{0}+3 \equiv 11111+111111111111111111 \cdot 110+3 \equiv 11111+3=11114 \equiv 18 \ (mod 19)}\)
Mój sposób jest o tyle gorszy, że trzeba dodatkowo udowodnić, że 111111111111111111 (18 jedynek) jest podzielna przez 19. Można z własności dzielenia. Po za tym skorzystałem jeszcze z kongrugencji tej co i Ty.
Temat jeszcze się nie wyczerpał. Udowodnij, że ta liczba jest złożona.
-
frej
2222.....23 i podzielność przez 19
Usunąłem, bo coś mi nie pasowało. Jak sprawdzę i okaże się bez blefu, to wrzucę. Przepraszam za zamieszanie.
-
frej
2222.....23 i podzielność przez 19
Oddaję, co nie zmienia faktu, że mi to nie pasuje
\(\displaystyle{ x=\underbrace{22\ldots 2}_{1986}+1=2\frac{10^{1986}-1}{9}+1}\)
\(\displaystyle{ 1986=110 \cdot \varphi(19)+6}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 2\frac{10^6-1}{9}+1 \equiv 222223 \equiv 18 \pmod{19}}\)
Nie pasuje mi tu dzielenie i użycie tw. Eulera naraz...
Mógłby ktoś mądry powiedzieć czy jest dobrze, a jeśli nie to gdzie i jaki jest błąd? Może po prostu miałem fuksa i wyszło co trzeba?
Kurczę, może być dobrze...
\(\displaystyle{ \frac{10^{1986}-1}{9} \equiv \frac{10^6-1}{9} \pmod{19} \; \Leftrightarrow \; 10^{1986}-1 \equiv 10^6-1 \pmod{19}}\)
Ale tu jest prawdą na mocy tw. Eulera
Jest tu jakiś błąd?
\(\displaystyle{ x=\underbrace{22\ldots 2}_{1986}+1=2\frac{10^{1986}-1}{9}+1}\)
\(\displaystyle{ 1986=110 \cdot \varphi(19)+6}\)
\(\displaystyle{ x \equiv 2\frac{10^6-1}{9}+1 \equiv 222223 \equiv 18 \pmod{19}}\)
Nie pasuje mi tu dzielenie i użycie tw. Eulera naraz...
Mógłby ktoś mądry powiedzieć czy jest dobrze, a jeśli nie to gdzie i jaki jest błąd? Może po prostu miałem fuksa i wyszło co trzeba?
Kurczę, może być dobrze...
\(\displaystyle{ \frac{10^{1986}-1}{9} \equiv \frac{10^6-1}{9} \pmod{19} \; \Leftrightarrow \; 10^{1986}-1 \equiv 10^6-1 \pmod{19}}\)
Ale tu jest prawdą na mocy tw. Eulera
Jest tu jakiś błąd?