Wyznaczenie liczb, podzielność

[patry93]

Witam.

Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) takie, że \(\displaystyle{ n| \frac{(n-2)(n-1)n}{6}}\)

Co mam::    

Po sprawdzeniu kilku przypadków wysnułem hipotezę, że to będą wszystkie \(\displaystyle{ n \neq 3k , \ k \in \mathbb{N}}\).
Nie bardzo mam pomysł na ładny dowód i próbowałem to rozdzielić na 2 przypadki (wielokrotność 3 i nie) ale w obu przypadkach już mam problemy... próbowałem indukcją, ale chyba można to prościej i ładniej zrobić.

Pozdrawiam, P.

[frej]

\(\displaystyle{ \frac{(n-2)(n-1)}{6} \in \mathbb{N}}\)

[patry93]

Ach, no tak, ale ze mnie głąb
Zatem w przypadku, gdy \(\displaystyle{ n \neq 3k}\) z Twojego będzie \(\displaystyle{ n|nl , \ l \in \mathbb{N}}\) co jest prawdą.
Natomiast w przypadku, gdy \(\displaystyle{ n = 3k}\) będzie \(\displaystyle{ \frac{k(3k-1)(3k-2)}{2} = kx \ i \ 3 \nmid x}\).
Załóżmy, że teza w tym przypadku zajdzie, tj. \(\displaystyle{ 3k | kx \iff 3ky=kx \iff 3y=x}\) - sprzeczność, więc wszystkie szukane \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N} \wedge n \neq 3k, \ k \in \mathbb{N}}\)
Dobrze?

[frej]

Gdy \(\displaystyle{ n=3k}\), to
\(\displaystyle{ \frac{(n-1)(n-2)}{6} \not \in \mathbb{N}}\), a miało być
\(\displaystyle{ ln=n\frac{(n-1)(n-2)}{6} \qquad l\in \mathbb{N}}\)
sprzeczność.