która z liczb jest dzielnikiem?
-
astuhu
- Użytkownik
- Posty: 359
- Rejestracja: 24 lut 2009, o 21:36
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 35 razy
która z liczb jest dzielnikiem?
że niby żadne:)?
Miło by mi było, gdyby ktoś dał chociaż jakąs wskazówkę jak się do tego zabrać, gdyz nie mam pojęcia .A mam do zrobienia kilkanaście takich zadań
więc przydałby mi się jakiś 'wzór' 
)
Bardzo prosze o pomoc)
Miło by mi było, gdyby ktoś dał chociaż jakąs wskazówkę jak się do tego zabrać, gdyz nie mam pojęcia .A mam do zrobienia kilkanaście takich zadań
więc przydałby mi się jakiś 'wzór' )Bardzo prosze o pomoc
)-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
która z liczb jest dzielnikiem?
twierdzenie Fermata:
\(\displaystyle{ 5^{12}\equiv 2^{12}\equiv 1 \mod 13}\)
Dalej
\(\displaystyle{ 5^6 \equiv 2^{6} \equiv 1 \mod 7 \Rightarrow 5^{12}\equiv 2^{12}\equiv 1^2 \mod 7}\)
dla \(\displaystyle{ 3}\) też wyjdzie.
\(\displaystyle{ 5^{18}\equiv 1 \mod 19}\).
Niech \(\displaystyle{ a=5^{6}}\).
Skoro \(\displaystyle{ a^3\equiv 1}\) to \(\displaystyle{ \left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\equiv 0}\).
Sprawdzamy że \(\displaystyle{ a \equiv 7 \not\equiv 1}\) stąd \(\displaystyle{ a^2+a+1 \equiv 0}\) czyli \(\displaystyle{ a^2=-a-1}\).
Stąd wyliczamy \(\displaystyle{ 5^{12}\equiv a^{2} \equiv = -a-1 \equiv 11}\)
podobnie dla \(\displaystyle{ 2^{12}}\).
\(\displaystyle{ 5^{12}\equiv 2^{12}\equiv 1 \mod 13}\)
Dalej
\(\displaystyle{ 5^6 \equiv 2^{6} \equiv 1 \mod 7 \Rightarrow 5^{12}\equiv 2^{12}\equiv 1^2 \mod 7}\)
dla \(\displaystyle{ 3}\) też wyjdzie.
\(\displaystyle{ 5^{18}\equiv 1 \mod 19}\).
Niech \(\displaystyle{ a=5^{6}}\).
Skoro \(\displaystyle{ a^3\equiv 1}\) to \(\displaystyle{ \left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\equiv 0}\).
Sprawdzamy że \(\displaystyle{ a \equiv 7 \not\equiv 1}\) stąd \(\displaystyle{ a^2+a+1 \equiv 0}\) czyli \(\displaystyle{ a^2=-a-1}\).
Stąd wyliczamy \(\displaystyle{ 5^{12}\equiv a^{2} \equiv = -a-1 \equiv 11}\)
podobnie dla \(\displaystyle{ 2^{12}}\).
-
astuhu
- Użytkownik
- Posty: 359
- Rejestracja: 24 lut 2009, o 21:36
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 35 razy
która z liczb jest dzielnikiem?
Dziękuję bardzo za pomoc
Jednak to zadanie jest zadaniem maturalnym, a na maturze takowe twierdzenie nie obowiązuje. Czy jest może jakaś inna metoda rozwiązania tego zadania? Bo tych zapisów nie rozumiem...
ja próbowałam ta liczbe rozkładać:
\(\displaystyle{ 5^{12} - 2^{12} = (5^{6} + 2^{6})(5^{6} - 2^{6}) = (...)= (5^{3} - 2^{3})(5^{3} + 2^{3})(5^{3} + 2^{3} - 2000) = -1867(5^{3} - 2^{3})(5^{3} + 2^{3})}\)
ALe nie wiem czy to do czegos prowadzi?
Jednak to zadanie jest zadaniem maturalnym, a na maturze takowe twierdzenie nie obowiązuje. Czy jest może jakaś inna metoda rozwiązania tego zadania? Bo tych zapisów nie rozumiem...
ja próbowałam ta liczbe rozkładać:
\(\displaystyle{ 5^{12} - 2^{12} = (5^{6} + 2^{6})(5^{6} - 2^{6}) = (...)= (5^{3} - 2^{3})(5^{3} + 2^{3})(5^{3} + 2^{3} - 2000) = -1867(5^{3} - 2^{3})(5^{3} + 2^{3})}\)
ALe nie wiem czy to do czegos prowadzi?
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
która z liczb jest dzielnikiem?
A czy tam nie jest plus?
\(\displaystyle{ 12=4\cdot 3}\)
\(\displaystyle{ 5^{12}+2^{12}=a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2 \right)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a=5^{4},b=2^{4}}\).
Jeśli jednak masz mieć minus, to nadaje się to na maturę, i trzeba rozkładać jak pisałaś, przez wzory
\(\displaystyle{ a^{12}-b^{12}=\left(a^6-b^6\right)\left(a^6+b^6\right)}\)
Dalej, \(\displaystyle{ a^6+b^6=\left(a^2\right)^{3}+\left(b^2\right)^{3}}\) rozkłada się.
\(\displaystyle{ a^6-b^6=\left(a^3-b^3\right)\cdot\left(a^3+b^3\right)}\)
oba nawiasy się rozkładają.
Rozkład pomaga, bo wystarczy sprawdzić jak dzielą się jego czynniki.
\(\displaystyle{ 12=4\cdot 3}\)
\(\displaystyle{ 5^{12}+2^{12}=a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2 \right)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a=5^{4},b=2^{4}}\).
Jeśli jednak masz mieć minus, to nadaje się to na maturę, i trzeba rozkładać jak pisałaś, przez wzory
\(\displaystyle{ a^{12}-b^{12}=\left(a^6-b^6\right)\left(a^6+b^6\right)}\)
Dalej, \(\displaystyle{ a^6+b^6=\left(a^2\right)^{3}+\left(b^2\right)^{3}}\) rozkłada się.
\(\displaystyle{ a^6-b^6=\left(a^3-b^3\right)\cdot\left(a^3+b^3\right)}\)
oba nawiasy się rozkładają.
Rozkład pomaga, bo wystarczy sprawdzić jak dzielą się jego czynniki.