liczby parzyste, NWD

[Bartek_em]

Witam
mam problem z dosyć "łatwymi" zadaniami

Pierwsze
Niech \(\displaystyle{ a_{1}}\) \(\displaystyle{ a_{2}}\) \(\displaystyle{ a_{3}}\) \(\displaystyle{ a_{4}}\) należą do zboriu Całkowitego oraz \(\displaystyle{ a^{2}_{1} + a^{2}_{2}+ a^{2}_{3}= a^{2}_{4}}\) . Wykaż, że przynajmniej dwie z liczb \(\displaystyle{ a_{i}}\) są parzyste.
wsk. Rozpatrz wszystkie scenariusze: 4 parzyste, jedna parzysta (po lewej albo po prawej stronie) i trzy nieparzyste, i tak dalej.
Pomyślałem że jeżeli parzysta to zapiszmy ja a = 2k i jej reszta z dzielenia przez 2 jest 0 a nie parzysta a=2k+1 i reszta to 1. ale nie wiem za bardzo jak się zabrać do tego. rozpatruje te przypadki i nic nie widzę.

Drugie
Oblicz
a) \(\displaystyle{ (n, n+1)}\)
b) \(\displaystyle{ (n, n+2)}\)
c) \(\displaystyle{ (m+2n, 2m+n)}\)
d) \(\displaystyle{ (m.n )=1}\)
tutaj trzeba skorzystać z definicji NWD
z góry dziekuje

[Crizz]

W drugim korzystasz głównie z własności \(\displaystyle{ (m,n)=(m-n,n)}\):
a.) \(\displaystyle{ (n,n+1)=(n,1)=1}\)
b.) \(\displaystyle{ (n,n+2)=(n,2)= \begin{cases} 1:n \equiv 1(mod2) \\ 2:n \equiv 0(mod2) \end{cases}}\)

[max]

W pierwszym wystarczy rozpatrzeć reszty modulo 4.

[Bartek_em]

mógł byś pokazać? a te pkt c i d nieumiem zrobić tym sposobem co a i b

[Crizz]

d.) tam miało być \(\displaystyle{ (m,n)=1}\)? Jeśłi tak, to rozwiązaniem są po prostu pary liczb względnie pierwszych, czyli zbiór \(\displaystyle{ \{(m,n): \bigvee_{x,y\in Z} mx+ny=1\}}\)

[Bartek_em]

no właśnie napisane mam z kropka ale tez mi sie wydaje ze to jest błąd. aha dzieki. a c) tez masz problem? bo jak korzystam z tego wzoru to dochodzę do tego że ze \(\displaystyle{ (m+2n, 2m+n)}\)=\(\displaystyle{ (m+2n, -3n)}\) ale to chyba nie tedy droga bo nie wiadomo co z tym robić dalej

[Crizz]

c:
Z zależności \(\displaystyle{ 2m+n \equiv m+2n (mod \ d)}\) dla \(\displaystyle{ d|(2m+n,m+2n)}\) wynika(po odjęciu \(\displaystyle{ m+n}\) od obu stron kongruencji) zależność \(\displaystyle{ m \equiv n (mod \ d)}\), dlatego podejrzewam, że \(\displaystyle{ (m+2n,2m+n)=(m,n)}\), ale chwilowo nie mogę wpaść na poprawny dowód tego faktu. Na pewno szukana liczba jest postaci \(\displaystyle{ a(m,n),a\in Z}\).

[Potekk]

Przepraszam za wznowienie tematu, ale właśnie szukałem rozwiązania podpunktu c) i nie mogłem znaleźć. To może komuś innemu się przyda.
W mojej książce było aby obliczyć \(\displaystyle{ (m+2n, 2m+n)}\), gdzie \(\displaystyle{ (m,n) = 1}\). Tłumaczyło by to podpunkt d)
Do rzeczy:
Niech \(\displaystyle{ d = (m+2n, 2m+n)}\)
Skoro \(\displaystyle{ (m,n) = 1}\) to istnieją takie \(\displaystyle{ x, y}\), że \(\displaystyle{ mx + ny = 1}\)
Rozpatrzmy \(\displaystyle{ x \cdot (m+2n) = mx + 2nx = mx + ny - ny + 2nx = 1 + n(2x - y)}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ d | (m+2n)}\), więc \(\displaystyle{ d | x \cdot (m+2n) = 1 + n(2x - y)}\)
Analogicznie \(\displaystyle{ d | 1 + m(2y-x)}\)
Z drugiej strony wiemy, że \(\displaystyle{ d | 2*(m+2n) - (2m+n) = 3n}\)
Zatem \(\displaystyle{ d | 3}\) lub \(\displaystyle{ d | n}\)
1. \(\displaystyle{ d | n}\) oraz \(\displaystyle{ d | n(2x-y) + 1}\). Wynika z tego że \(\displaystyle{ d|1}\) więc \(\displaystyle{ d =1}\)
Przykład
\(\displaystyle{ m = 5}\), \(\displaystyle{ n=3}\) wtedy \(\displaystyle{ (m+2n, 2m+n) = (11, 13) = 1}\)
2. \(\displaystyle{ d | 3}\) więc \(\displaystyle{ d = 3}\)
Przykład
\(\displaystyle{ m = 7}\), \(\displaystyle{ n=4}\) wtedy \(\displaystyle{ (m+2n, 2m+n) = (15, 18) = 3}\)

Teraz pytanie kiedy \(\displaystyle{ d = 3}\)
Niech \(\displaystyle{ 3 | m + 2n}\)
Po rozpatrzeniu wszystkich kongruencji dochodzimy do wniosku że są tylko 3 przypadki
1. \(\displaystyle{ n\equiv 0 \pmod{3} m\equiv 0 \pmod{3}}\) wtedy również \(\displaystyle{ 2m + n \equiv 0 \pmod{3}}\)
2. \(\displaystyle{ n\equiv 1 \pmod{3} m\equiv 1 \pmod{3}}\) wtedy również \(\displaystyle{ 2m + n \equiv 2 + 1 \equiv 0 \pmod{3}}\)
3. \(\displaystyle{ n\equiv 2 \pmod{3} m\equiv 2 \pmod{3}}\) wtedy również \(\displaystyle{ 2m + n \equiv 4 + 2 \equiv 0 \pmod{3}}\)