Wyznaczyć wszystkie rozwiązania układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 25x^{2}+9y^{2}=12yz \\ 9y^{2}+4z^{2}=20xz \\ 4z^{2}+25x^{2}=30xy \end{cases}}\)
w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ x, y, z}\).
Wyznaczyć wszystkie rozwiązania układu równań
-
Brzytwa
- Użytkownik
- Posty: 879
- Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 221 razy
Wyznaczyć wszystkie rozwiązania układu równań
Sumując wszystkie równania otrzymamy:
\(\displaystyle{ 25x^{2}+9y^{2}+9y^{2}+4z^{2}+4z^{2}+25x^{2}=12yz+20xz+30xy}\)
\(\displaystyle{ 25x^{2}-30xy+9y^{2}+9y^{2}-12yz+4z^{2}+4z^{2}-20xz+25x^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ (5x-3y)^{2}+(3y-2z)^{2}+(2z-5x)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5x=3y \\ 5x=2z \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=\frac{3}{5}x \\ z=\frac{2}{5}x \end{cases}}\)
Bezpośrednie podstawienie daje nam, że każda trójka liczb (x,y,z) spełniająca powyższy układ spełnia warunki zadania.
\(\displaystyle{ 25x^{2}+9y^{2}+9y^{2}+4z^{2}+4z^{2}+25x^{2}=12yz+20xz+30xy}\)
\(\displaystyle{ 25x^{2}-30xy+9y^{2}+9y^{2}-12yz+4z^{2}+4z^{2}-20xz+25x^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ (5x-3y)^{2}+(3y-2z)^{2}+(2z-5x)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5x=3y \\ 5x=2z \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=\frac{3}{5}x \\ z=\frac{2}{5}x \end{cases}}\)
Bezpośrednie podstawienie daje nam, że każda trójka liczb (x,y,z) spełniająca powyższy układ spełnia warunki zadania.