Basel problem

[evelinka1987]

Hej wszystkim,

mam problem ze znalezieniem jakiejkolwiek strony z tym problemem po polsku;/ Czy może ktoś się z tym spotkał? Ogólnie chodzi o udowodnienie ze \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{n ^{2} } = \frac{\pi ^{2} }{6}}\).

pozdrawiam Evi

[kuch2r]

30091.htm

[Maciej87]

A jaki dowód chciałabyś mieć?
Można na przykład przez szereg Furiera.
Weźmy rozszerzenie okresowe funkcji \(\displaystyle{ x}\) na przedziale \(\displaystyle{ -\pi,\pi}\).
Współczynniki szeregu wyrażają się wzorami
\(\displaystyle{ \begin{array}{l}
a_0 =\frac{1}{3}\pi^2 \\
a_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{(-\pi,\pi)}f(x)\cos (nx)dx = (-1)^{n+1}\frac{2}{n} \\
b_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{(-\pi,\pi)}f(x)\sin (nx)dx =0 \\
\end{array}}\)
W tożsamości Parsevala dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int f(x)^2 dx = (a_0)^2+\frac{1}{2}\sum\left(a_n^2+b_n^2\right)=}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}\pi^2=\sum\limits_{n>0} \frac{2}{n^2}}\)
Lub bez Parsevala, rozwijając rozszerzenie okresowe funkcji \(\displaystyle{ x^2}\) i korzystając z punktowej zbieżności.