liczby spełniające równość

Liesel · Post autor: **Liesel** » 4 mar 2009, o 12:21

Mam wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) spełniające równość:

\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} + 9 = 3(x + y) + xy}\)

Przekształciłam to do:

\(\displaystyle{ (x+y)(x+y-3)=3(xy-3)}\)

(nie wiem po co, ale dało się... )

Nie mogę dalej rozgryźć tego zadanka. Proszę o pomoc.
Bardzo, ale to bardzo proszę...

bzyk12 · Post autor: **bzyk12** » 4 mar 2009, o 14:18

korzystamy z własności iloczynu. Musisz rozwiązac następującą alternatywę:
\(\displaystyle{ 1)\begin{cases}x+y=3\\x+y-3=xy-3 \end{cases} \vee 2)\begin{cases} x+y=xy-3\\x+y-3=3 \end{cases}}\)
Z pierwszego wychodzi że nie ma takich x i y spełniających układ równań. Natomiast w drugim wychodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=3\\y=3 \end{cases}}\) i to jest rozwiazaniem.

Liesel · Post autor: **Liesel** » 4 mar 2009, o 15:03

Własności iloczynu????? Nie mam bladego pojęcia o co chodzi, ale zrozumiałam, że to się tak rozkłada. Tylko nie wiem czemu akurat tak. Wiesz, gdzie mogę coś znaleźć na ten temat?????

Dlaczego \(\displaystyle{ (x+y)=3 \vee (x+y)=(xy-3)}\)???

Dlaczego nie:
\(\displaystyle{ (x+y)=3/k}\)
\(\displaystyle{ (x+y-3)=(xy-3)k}\)
\(\displaystyle{ k \in R}\)???

Proszę o wytłumaczenie. Bardzo, bardzo proszę.

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 4 mar 2009, o 15:22

Oczywiście Liesel masz rację, bo nikt nie powiedział, że \(\displaystyle{ xy-3}\) jest pierwsza, co więcej - nie musi być nawet całkowita. Taka rada - gdy mamy rozwiązać równanie, a jest w nim co najmniej 2 zmienne, to w 99% przypadkach zwinie się to do takiej postaci, że iloczyn kilku nawiasów jest równy zero (zatem przynajmniej jeden z nawiasów jest zerem, co już pójdzie na przypadki), albo zwinie się w sumę kwadratów, która jest równa 0 (zatem wszystkie wyrażenia podnoszone do kwadratu są zerami).

Proponuję więc inaczej podejść do zadania. Nasza równość jest równoważna:
\(\displaystyle{ 2x^2+2y^2+18-6x-6y-2xy=0 \iff (x-y)^2+(x-3)^2+(y-3)^2=0}\)

Wnioski oczywiste

Liesel · Post autor: **Liesel** » 4 mar 2009, o 15:32

Dzięki wielkie. Zwłaszcza za radę. Na 100% wykorzystam to, jak będę miała okazję (w końcu będę wiedziała od czego zacząć).

bzyk12 · Post autor: **bzyk12** » 4 mar 2009, o 19:09

Bardzo przepraszam; zrozumiałem swój błąd