Znajdź wszystkie (p,q,n) takie, że

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Potekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 2 gru 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piastów
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 35 razy

Znajdź wszystkie (p,q,n) takie, że

Post autor: Potekk »

Znajdź wszystkie rozwiązania (p,q,n) równania

\(\displaystyle{ p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)}\)

takie, że p,q są liczbami pierwszymi, zaś n jest liczbą naturalną.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Znajdź wszystkie (p,q,n) takie, że

Post autor: Sylwek »

Bardzo fajne zadanie, skąd je masz?

a) \(\displaystyle{ p=q}\), wówczas: \(\displaystyle{ 2p(p+1)=n(n+1)}\), ponieważ p jest pierwsza, to dla pewnych a,b takich, że: \(\displaystyle{ ab=2(p+1)}\) mamy:
\(\displaystyle{ (n=pa \wedge n+1=b) \vee (n=b \wedge n+1=pa)}\), łatwo tutaj odrzucić większość przypadków jakimiś prostymi nierównościami, jakby był problem, to pisz. W każdym razie mamy jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ (2,2,3)}\).

b) \(\displaystyle{ p \neq q}\), dla ustalenia uwagi: \(\displaystyle{ p \ge q-1}\), wówczas mamy:
\(\displaystyle{ p(p+1)=n^2+n-q^2-q=(n-q)(n+q+1)}\), gdyby: \(\displaystyle{ n-q \ge p}\), to: \(\displaystyle{ n+q+1=(n-q)+(2q+1) \ge p + (2q+1) > p+1}\), czyli: \(\displaystyle{ (n-q)(n+q+1) > p(p+1)}\) - sprzeczność, zatem: \(\displaystyle{ n-q<p \Rightarrow n<p+q}\), a ponieważ \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsze, to:
\(\displaystyle{ p|(n+q+1)}\)

Z drugiej strony: \(\displaystyle{ n>p}\) (oczywistość), czyli: \(\displaystyle{ n+q+1>p}\), a także z założenia przypadku: \(\displaystyle{ n+q+1 < (p+q)+q+1=p+2q+1 \le p+2(p-1)+1=3p-1<3p}\)

Zatem: \(\displaystyle{ p<n+q+1<3p}\), a zarazem \(\displaystyle{ n+q+1}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ p}\), czyli: \(\displaystyle{ n+q+1=2p}\), a że: \(\displaystyle{ (n-q)(n+q+1)=p(p+1)}\), to:

\(\displaystyle{ \begin{cases} n-q=\frac{p+1}{2} \Rightarrow 2n-2q=p+1 \\ n+q+1=2p \end{cases}}\)

Stąd: \(\displaystyle{ n=2p-q-1 \Rightarrow 2(2p-q-1)-2q=p+1 \Rightarrow 3(p-1)=4q}\), a że q jest pierwsze, to \(\displaystyle{ q=3}\), co za tym idzie \(\displaystyle{ p=5}\) i \(\displaystyle{ n=6}\).

Pozbywając się relacji pomiędzy p i q otrzymujemy wszystkie rozwiązania zadania.

Odpowiedź: \(\displaystyle{ (p,q,n) \in \{ (2,2,3), \ (3,5,6), \ (5,3,6) \}}\).
Potekk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 2 gru 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piastów
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 35 razy

Znajdź wszystkie (p,q,n) takie, że

Post autor: Potekk »

dzięki
te zadanie pochodzi z jakiejś tam olimpiady albo z obozu przygotowującego do olimpiad. Podejrzałem inne rozwiązane i można też tak zrobić:

\(\displaystyle{ p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)}\)
\(\displaystyle{ p^2 + q^2 - n^2 + p + q - n = 0 / + 2pq}\)
\(\displaystyle{ (p+q)^2 - n^2 + p + q - n = 2pq}\)
\(\displaystyle{ (p+q-n)(p+q+n) + (p+q-n) = 2pq}\)
\(\displaystyle{ (p+q-n)(p+q+n+1)=2pq}\)

ponadto \(\displaystyle{ p+q-n < p+q+n+1}\) i teraz wystarczy rozważyć kilka przypadków.
ODPOWIEDZ