pierwiastek pierwotny
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
pierwiastek pierwotny
\(\displaystyle{ 2}\).
Bo chcemy żeby rząd \(\displaystyle{ 2}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{19}^{*}}\) był \(\displaystyle{ n=18}\).
Wiemy że rząd \(\displaystyle{ n}\) musi dzielić \(\displaystyle{ 18}\).
Właściwy dzielnik \(\displaystyle{ n|18}\) dzieli jedną z liczb \(\displaystyle{ \frac{18}{2}=9,\frac{18}{3}=6}\).
Tymczasem \(\displaystyle{ 2^9 = -1}\) (liczymy albo wiemy z kryterium Eulera, że \(\displaystyle{ 2^{\frac{19-1}{2}}=2^9=-1\mod 19}\) bo \(\displaystyle{ 2}\) nie jest resztą kwadratową) oraz \(\displaystyle{ 2^6 = 7}\).
A powinno wyjść gdzieś \(\displaystyle{ 1}\), bo \(\displaystyle{ 2^{kn}=1}\)
Zatem \(\displaystyle{ 2^n \not = 1}\) jeśli \(\displaystyle{ n<18}\) stąd \(\displaystyle{ n=18}\).
Jasne że nie wszystko może być pierwiastkiem pierwotnym. Weźmy \(\displaystyle{ 18\equiv-1}\).Jego potęgi generują ledwo zbiór reszt \(\displaystyle{ -1,1=18,1}\)
Bo chcemy żeby rząd \(\displaystyle{ 2}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{19}^{*}}\) był \(\displaystyle{ n=18}\).
Wiemy że rząd \(\displaystyle{ n}\) musi dzielić \(\displaystyle{ 18}\).
Właściwy dzielnik \(\displaystyle{ n|18}\) dzieli jedną z liczb \(\displaystyle{ \frac{18}{2}=9,\frac{18}{3}=6}\).
Tymczasem \(\displaystyle{ 2^9 = -1}\) (liczymy albo wiemy z kryterium Eulera, że \(\displaystyle{ 2^{\frac{19-1}{2}}=2^9=-1\mod 19}\) bo \(\displaystyle{ 2}\) nie jest resztą kwadratową) oraz \(\displaystyle{ 2^6 = 7}\).
A powinno wyjść gdzieś \(\displaystyle{ 1}\), bo \(\displaystyle{ 2^{kn}=1}\)
Zatem \(\displaystyle{ 2^n \not = 1}\) jeśli \(\displaystyle{ n<18}\) stąd \(\displaystyle{ n=18}\).
Jasne że nie wszystko może być pierwiastkiem pierwotnym. Weźmy \(\displaystyle{ 18\equiv-1}\).Jego potęgi generują ledwo zbiór reszt \(\displaystyle{ -1,1=18,1}\)