Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ a^2 +b^2 = 1, \ c^2 + d^2 = 1, \ ac+bd=0}\), to \(\displaystyle{ ab+cd=0}\)
Moje rozwiązanie do ewentualnego sprawdzenia:
Ukryta treść:
Przekształcamy równości w ten sposób: \(\displaystyle{ a^2=1-b^2 , \ c^2=1-d^2}\)
Mnożymy stronami: \(\displaystyle{ a^2 c^2 = (1-b^2)(1-d^2) \iff (ac)^2 - (bd)^2 = 1-b^2-d^2 \iff (-bd)^2- (bd)^2 = 1 - b^2 - d^2 \iff b^2 + d^2 = 1 \ (1)}\)
Analogicznie przekształcamy: \(\displaystyle{ b^2=1-a^2 , \ d^2 = 1-c^2}\)
I po wymnożeniu stronami otrzymujemy: \(\displaystyle{ a^2 + c^2 = 1 \ (2)}\)
Odejmujemy teraz stronami pierwszą równość z zadania i (2) \(\displaystyle{ a^2+b^2-a^2-c^2=1-1 \iff b^2-c^2=0 \iff (b-c)(b+c)=0 \ (*)}\)
Teraz odejmujemy pierwszą równość i (1) \(\displaystyle{ a^2 - d^2 = 0 \iff (a-d)(a+d)=0 \ (**)}\)
Teraz na podstawie (*) i (**) uzyskuję 4 przypadki: \(\displaystyle{ 1^{ \circ} \ b=c \ i \ a=d \\ ac+bd=0 \iff ac=0 \\ ab+cd=2ac=0 \\ 2^{ \circ} \ b=c \ i \ a=-d \\ ab+cd=-bd+bd=0 \\ 3^{ \circ} \ b=-c \ i \ a=d \\ ab+cd=-cd+cd=0 \\ 4^{ \circ} ac+bd=0 \iff -2ab=0 \iff ab=0 \\ ab+cd = 2ab=0}\)
c.k.d.
Mile widziane również inne rozwiązania
[edit]
Nowe zadanie:
2. Dowieść, że jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c=0 \ i \ a^3+b^3+c^3=0}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego zachodzi \(\displaystyle{ a^{2n+1} + b^{2n+1} + c^{2n+1} = 0}\)
Pozdrawiam, P.
Ostatnio zmieniony 26 lut 2009, o 15:39 przez patry93, łącznie zmieniany 1 raz.
1. Jak już masz \(\displaystyle{ b^2+d^2=a^2+c^2=1}\) to można też tak: \(\displaystyle{ 1=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=\underbrace{(ac+bd)^2}_{0}+(ad-bc)^2=(ad-bc)^2= \\ =(a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2=1-(ab+cd)^2}\)
wykorzystując tożsamość \(\displaystyle{ (x^2+y^2)(a^2+b^2)=(xa+yb)^2+(xb-ya)^2}\)
Mam nadzieję, że dobrze -- 25 lutego 2009, 18:20 --Taki pomysł mam jeszcze.
Rozważmy okrąg jednostkowy na płaszczyźnie i dwa wektory \(\displaystyle{ \vec{x}=[a,b] \quad \vec{y}=[c,d]}\)
Z podanego warunku wynika ( z iloczynu skalarnego wektorów ), że wektory są prostopadłe. Istotnie \(\displaystyle{ 0=ac+bd=\vec{x} \circ \vec{y}= \left| x\right| \left| y\right| cos \sphericalangle (\vec{x}, \vec{y})}\)
Tylko na razie wygląda to jak strzał, bo nie wiem jak dokończyć. Może komuś się uda
Nie do końca wiem jak przetłumaczyć ten warunek \(\displaystyle{ ab+cd}\) na te wektory...
ja mam tak:
podstawienie \(\displaystyle{ a=\sin{\alpha}}\) i \(\displaystyle{ c=\sin{\beta}}\). Wówczas z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ b=\cos{\alpha}}\) i \(\displaystyle{ d=\cos{\beta}}\) (można tak zrobić, bo \(\displaystyle{ |a|, |b|, |c|, |d| \le 1}\))
Teraz mamy \(\displaystyle{ ac+bd=\cos(\alpha-\beta)=0=\cos{90^\circ}}\), skąd dostajemy \(\displaystyle{ \alpha=90^\circ+\beta}\). Potem wykorzystując równości \(\displaystyle{ \sin(90^\circ+\beta)=\cos\beta}\) i \(\displaystyle{ \cos(90^\circ+\beta)=-\sin{\beta}}\) i wzór na sinus różnicy mamy \(\displaystyle{ ab-cd = \cos \alpha \sin(90^\circ+\beta)-\sin \alpha \cos(90^\circ+\beta)=\sin(\alpha-90^\circ-\beta)=\sin0^\circ=0}\)
Ciekawe te Wasze rozwiązania, choć ja nic z nich nie rozumiem, nie uczyłem się jeszcze trygonometrii na takim poziomie
Jeszcze jedno podobne zadanko mam:
2. Dowieść, że jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c=0 \ i \ a^3+b^3+c^3=0}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego zachodzi \(\displaystyle{ a^{2n+1} + b^{2n+1} + c^{2n+1} = 0}\)
Moje rozwiązanie:
Mamy \(\displaystyle{ a+b=-c}\). Podnosimy do trzeciej potęgi i mamy: \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3=-3a^2b-3ab^2 = 0 \iff ab(a+b)=0}\)
Zatem mam \(\displaystyle{ ( a=0 \vee b=0) \vee a=-b \ (1)}\)
Analogicznie postępuję dla \(\displaystyle{ a+c=-b \ i \ b+c=-a}\)
I otrzymuję kolejno: \(\displaystyle{ ( a=0 \vee c=0) \vee a=-c \ (2) \\ ( b=0 \vee c=0) \vee b=-c \ (3)}\)
Teraz na podstawie (1), (2) i (3) lecim na przypadki: \(\displaystyle{ 1^{ \circ} \ a=b=c=0}\)
No tu sprawa jest oczywista raczej \(\displaystyle{ 2^{ \circ} \ a=0 , \ b \neq 0 , \ c \neq 0}\)
Przy czym \(\displaystyle{ a=0}\) bez straty ogólności, tj. chodzi o sprawdzenie przypadku, gdy jedna z liczb jest równa 0. Wówczas skoro \(\displaystyle{ a+b+c=0}\), to \(\displaystyle{ 0+b+c=0 \iff b=-c}\)
Więc \(\displaystyle{ a^{2n+1} + b^{2n+1} + c^{2n+1} = 0 + b^{2n+1} - b^{2n+1} = 0}\) \(\displaystyle{ 3^{ \circ} \ a=0 , \ b=0}\)
Znów bez straty ogólności (2 liczby równe 0). Mam \(\displaystyle{ a+b+c=0 \iff c=0}\) więc sprawa oczywista. \(\displaystyle{ 4^{ \circ} a \neq 0 , b \neq 0 , c \neq 0}\)
Wtedy z (1), (2) i (3) mam \(\displaystyle{ a=-c=-b=c=-a=b \Rightarrow 2a=2b=2c=0 \iff a=b=c=0}\) - sprzeczność z założeniem
Zatem rozpatrzyłem wszystkie możliwości i postulowana suma zawsze jest równa 0 c.n.d.
Proszę o sprawdzenie oraz oczywiście inne sposoby mile widziane
No to trochę inaczej.
Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3-px^2+qx-r}\), którego pierwiastkami są liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\)
Z wzorów Viete'a wynika, że wielomian jest postaci \(\displaystyle{ W(x)=x^3+qx-r}\). Skoro sa to pierwiastki, więc \(\displaystyle{ W(a)=W(b)=W(c)=0 \\ \begin{cases} a^3+qa-r=0 \\ b^3+qb-r=0 \\ c^3+qc-r=0 \end{cases}}\)
Dodając te trzy równości stronami i korzystając z warunków zadania otrzymujemy, że \(\displaystyle{ r=0}\).
Mamy zatem \(\displaystyle{ W(x)=x^3+qx}\)
Teraz indukcja .
Sprawdzenie i założenie, że \(\displaystyle{ \sum a^{2n+1} =0}\)
Krok wygląda tak: \(\displaystyle{ a^3+qa=0 \\ a^{2n+3}+qa^{2k+1}=0}\)
Analogicznie dla pozostałych zmiennych i dodając stronami + założenie otrzymujemy tezę.
Inaczej: \(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)}\)
Z założeń zadania dostajemy \(\displaystyle{ abc = 0,}\) stąd jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b, c}\) jest zerem, bez straty ogólności \(\displaystyle{ c = 0.}\)
Pozostaje skorzystać z: \(\displaystyle{ a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1} = a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a + b)(a^{2n} - \ldots + b^{2n}) = 0,}\)
bo \(\displaystyle{ a + b = a + b + c = 0.}\)
