Jak obliczyk taką kongruencję ?

[anusiakk]

Mam problem z tego typu zadaniem ...
\(\displaystyle{ 37^{4} - 1}\) <- pokażać, ze jest podzielne przez 10

Przykład nieco trudniejszy rozwiązałem bez problemu, tzn,
(skorzystałem tutaj z tego, że \(\displaystyle{ n^{5} - n}\) jest podzielne przez 5 - udowodnilem to indukcyjnie i dalej poszlo ok:
\(\displaystyle{ 37^{20} - 37^{4} = 37^{4*5} - 37^{4}}\) <- za \(\displaystyle{ 37^{4*5} - 37^{4}}\) podstawiłem \(\displaystyle{ n^{5} - n}\) i wyszlo)
a tutaj mam problem ... Moze ktos pomoc? Najlepiej wytlumaczyc, bo mecze sie juz z tym od dluzszego czasu, ale nie daje rady ... problowalem cos, ze \(\displaystyle{ 1 = 37^{0}}\), ale dalej nic mi nie wychodzi

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ 37^{4}-1=(37^{2}-1)(37^{2}+1)}\), zauważ że \(\displaystyle{ 37^{2}\equiv 9 (mod10)\Rightarrow 37^{2}+1\equiv 10 \equiv 0 (mod10)}\)

[Qń]

\(\displaystyle{ 37^4 \equiv 7^4=49^2 \equiv 9^2 = 81 \equiv 1 \mod 10}\)

Q.

[Crizz]

\(\displaystyle{ 37 \equiv 7(mod10)}\)
\(\displaystyle{ 37^{2} \equiv 49 \equiv 9 \equiv -1(mod10)}\)
\(\displaystyle{ 37^{4} \equiv (-1)^{2}(mod10)}\)
\(\displaystyle{ 37^{4} \equiv 1(mod10)}\)
\(\displaystyle{ 73^{4}-1 \equiv 0(mod10)}\), c.n.u.

[anusiakk]

Dziekuje za pomoc, niestety popelnilem maly blad i chyab niedokladnie wytlumaczylem, o co mi chodzi - przepraszam :

\(\displaystyle{ 37^{100} - 37^{4} = 37^{100*5} - 37^{100} + 37^{100} +37^{4} = [37^{100*5} - 37^{100}] +[37^{20*5} - 37^{20}] + [37^{4*5} - 37^{4}]}\) c.n.d., ponieważ: liczby w nawiasach kw. sa podzielne przez 2(bo to roznica 2 liczb nieparzystych), sa tez podzielne przez 5 (bo udowodniłem dla \(\displaystyle{ n^{5} - n}\) podzielne przez 5 indukcyjnie) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) jesli kazda z tych liczb jest podz. przez 10, to ich suma tez. Uczylem sie tego tylko w taki sposob, dlatego Wasz zapis jest dla mnie niezrozumiały. Może ktoś mógłby takim sposobem ja ja pomóc mi to obliczyć ?

[Qń]

Jeśli nie rozumiesz zapisu jakiego używa się przy kongruencjach, to nie używaj słowa "kongruencja" w temacie, tylko napisz, że chcesz po prostu pokazać bez użycia kongruencji, że \(\displaystyle{ 10 | (37^4-1)}\).

Mamy:
\(\displaystyle{ 37^4-1=(37^2-1)(37^2+1)= (37^2-1)(30^2 + 2\cdot 30 \cdot 7 + 7^2 +1) = \\ =
(37^2-1)(10\cdot 300 + 10\cdot 42 + 50 ) = (37^2-1)(300 + 42 + 5 )\cdot 10}\)

Ewentualnie, jeśli wiemy, że \(\displaystyle{ 5 | (n^5-n)}\) oraz jak łatwo sprawdzić \(\displaystyle{ 2 | (n^5-n)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\), czyli inaczej mówiąc \(\displaystyle{ 10 | (n^5-n)}\), to podstawiając \(\displaystyle{ n=37}\) dostaniemy, że:
\(\displaystyle{ 10 | (37^5-37)=37(37^4-1)}\)
skąd od razu wynika, że \(\displaystyle{ 10 | (37^4-1)}\)

Q.

[anusiakk]

Dobrze, dzieki za pomoc, nastepnym razem bede pamietal