Równość liczb spełniających warunek

[patry93]

Witam.

Wykazać, że jeżeli liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1 , x_2 , \ldots , x_{101}}\) spełniają warunek
\(\displaystyle{ x_1 ^3 +x_2 = x_2 ^3 +x_3 = \ldots = x_{101} ^3 +x_1}\)
to są równe.

Próbowałem z jakimiś odejmowaniami stronami, ale nic nie chce wyjść o_O

Pozdrawiam, P.

[timon92]

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ S=x_1 ^3 +x_2 = x_2 ^3 +x_3 = \ldots = x_{101} ^3 +x_1}\). Można przyjąć, że \(\displaystyle{ x_1}\) jest największą z tych liczb. Wówczas \(\displaystyle{ x_2=S-x_1^3}\) jest najmniejsza, to oznacza, że \(\displaystyle{ x_3=S-x_2^3}\) jest największą z liczb, stąd \(\displaystyle{ x_4=S-x_3^3}\) jest najmniejsze, itd...

[patry93]

timon92 - czy aby na pewno w Twoim sposobie, liczba \(\displaystyle{ x_2}\) będzie najmniejsza? Jeśli \(\displaystyle{ x_1}\) jest liczbą ujemną, to chyba wcale tak nie będzie?

[timon92]

słuszna uwaga, trzeba to jakoś zmodyfikować

edit: Chyba mam. Jeśli największa liczba będzie ujemna, to wszystkie będą ujemne. Mnożymy równania przez \(\displaystyle{ -1}\) i mamy wszystkie dodatnie i wszystko gra.

[patry93]

Ok... a jeszcze tak się zastanawiam, czy jeżeli największa liczba będzie dodatnia, a mniejsza od niej (druga z kolei) już będzie ujemna, to czy nie będzie to przeszkadzać? Obawiam się, że trzeba będzie zaprzęgnąć moduły, ale nie wiem - nie znam się niestety

[timon92]

chyba nie przeszkadza, ale jeśli się mylę, poprawcie mnie

[Sylwek]

Bez zbędnych mnożeń przez -1, itp.: niech \(\displaystyle{ x_1}\) będzie największa, wówczas z pierwszej równości: \(\displaystyle{ x_1^3 \ge x_2^3 \Rightarrow x_2 \le x_3}\), stąd z drugiej równości analogicznie \(\displaystyle{ x_2^3 \le x_3^3 \Rightarrow x_3 \ge x_4}\), ..., stąd z równości pierwszego wyrażenia i ostatniego: \(\displaystyle{ x_{101} \ge x_1}\), ale z założenia o \(\displaystyle{ x_1}\) mamy, że \(\displaystyle{ x_1 \ge x_{101}}\), czyli \(\displaystyle{ x_1=x_{101}}\), zatem \(\displaystyle{ x_{101}}\) też jest maksimum. Analogicznie dostajemy więc:

\(\displaystyle{ x_1=x_{101}=x_{100}=\ldots=x_3=x_2}\)