Wyznaczysz wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ n}\), dla których liczba \(\displaystyle{ \frac{n^5+3}{n^2+1}}\)
jest całkowita.
Moje rozwiązanie:
Ukryta treść:
Najpierw zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{n^5+3}{n^2+1} = n^3 - n + \frac{n+3}{n^2 + 1}}\)
Przez zwykłe podstawienia otrzymuję, że \(\displaystyle{ n \in \{ -1, 0, 1, 2 \}}\).
Teraz udowodnię, że dla innych wartości ułamek nie jest całkowity. \(\displaystyle{ 1^{ \circ} \ n \ge 3}\)
W tym przypadku licznik i mianownik są oczywiście dodatnie, więc ułamek nie będzie całkowity, jeśli licznik będzie mniejszy od mianownika. \(\displaystyle{ n^2+1 > n+3 \iff n(n-1)>2}\)
Ale z założenia w przypadku mamy \(\displaystyle{ n \ge 3 , \ n-1 \ge 2 , \ n(n-1) \ge 6 > 2}\)
Czyli nierówność jest prawdziwa. \(\displaystyle{ 2^{ \circ} \ n \le -2}\)
Tutaj jeśli się nie mylę, muszę wykazać, że moduł licznika jest mniejszy od mianownika, czyli mam: \(\displaystyle{ |n+3| < n^2 + 1 \\ \begin{cases} n+3 < n^2+1 \ (1) \\ n+3 > -n^2-1 \ (2) \end{cases}}\)
Najpierw udowodnię \(\displaystyle{ (1)}\). Nierówność ta jest równoważna takiej: \(\displaystyle{ n^2-n-2>0 \iff n(n-1)>2}\)
Ale z założenia w przypadku mamy \(\displaystyle{ n \le -2 , \ n-1 \le -3 , \ n(n-1) \ge 6 > 2}\)
Czyli nierówność prawdziwa.
Teraz zajmujemy się \(\displaystyle{ (2)}\). Jest ona równoważna: \(\displaystyle{ n^2+n+4 \iff n(n+1)>-4}\)
Ale z założenia \(\displaystyle{ n \le -2 , \ n+1 \le -1 , \ n(n+1) \ge 2 > -4}\)
Więc ta nierówność też jest prawdziwa, co kończy dowód.
Proszę o sprawdzenie mojego rozw. tudzież pokazanie innego