Przerwa pomiędzy kolejnymi liczbami pierwszymi

[matemix]

Powiedzmy, że mamy dowolną liczbę \(\displaystyle{ b}\). Czy istnieje takie \(\displaystyle{ b}\), że w przedziale \(\displaystyle{ <b, 2b>}\) nie będzie żadnej liczby pierwszej?

[Rogal]

Na przykład wszystkie b ujemne : ).
Serio mówiąc, to bodajże dla b większych od zera zawsze się taka liczba znajdzie.

[matemix]

Na przykład wszystkie b ujemne : ).
Serio mówiąc, to bodajże dla b większych od zera zawsze się taka liczba znajdzie.

Fakt. Z pewnością jak narazie nie znaleziono odstępstw od tej reguły, co jednak niczego nie dowodzi.

-- 21 lutego 2009, 18:34 --

Aha, i jeszcze jeśli tak jest, tzn. zawsze choć jedna liczba pierwsza w przedziale \(\displaystyle{ <b, 2b>}\) się znajdzie to dlaczego tak jest?

[Rogal]

Z tego, co pamiętam, to ktoś tego dowiódł. Nie pytaj mnie jednak o szczegóły, gdyż do takich dowodów to ja jestem o kilka lat za głupi.

[matemix]

Z tego, co pamiętam, to ktoś tego dowiódł.

Hmmm, właściwie wynika to trochę z wykresu rozkładu liczb pierwszych. Gdyby się przyjrzeć, szczególnie dla większych b wykres musiałby radykalnie się zmienić (być stały, nierosnący przez względnie gargantuiczny kawałek), żeby tak było.

[max]

Ten fakt jest znany jako postulat Bertranda lub twierdzenie Czebyszewa, udowodnione po raz pierwszy przez (niespodzianka) Czebyszewa, inny, elementarny dowód podany przez Paula Erdösa można znaleźć tu:

[matemix]

Ten fakt jest znany jako postulat Bertranda lub twierdzenie Czebyszewa, udowodnione po raz pierwszy przez (niespodzianka) Czebyszewa, inny, elementarny dowód podany przez Paula Erdösa można znaleźć tu:

Aha. To dobrze, bo gdyby możliwe było przedstawienie dowodu przeczącemu temu postulatowi, to i hipoteza Goldbacha była by fałszywa, a tu nic. Cóż...